L'insieme di frasi valide in FO non è decidabile come conseguenza di Rec. inseparabilità

Question

Sono chiamati due lingue fornite $ l_1 $ e $ l_2 $ ricorsivamente separabile Se esiste un languge ricorsivo $ r $ in modo tale che $ l_1 sottoseteq r $ e $ l_2 cap r = emptyset $.

Ora considera la logica del primo ordine e qualche assiomatizzazione finita di $ mathbb n $ in essa (sicuramente questo è il modo per debole, poiché non abbiamo alcuna induzione). Quindi abbiamo tre set, 1) l'insieme di frasi valide, cioè quelle derivabili le regole della logica del primo ordine, 2) l'insieme di frasi dimostrabili che utilizzano gli assiomi di $ matchbb n $ e l'insieme di frasi di verità, cioè quelli riempiti da $ mathbb n $. Anche come superset di tutti questi, abbiamo l'insieme di frasi del primo ordine che hanno un modello, e contrariamente a quello dell'insieme di frasi insoddisfatti, cioè non hanno un modello, che equivale (per completezza della logica del primo ordine) l'insieme di frasi incoerenti.

Ora, quanto segue:

Teorema: L'insieme di frasi insoddisfabili e l'insieme di frasi dimostrabili dagli assiomi scelti di $ mathbb n $ non sono separabili in modo ricorsivo.

Da ciò ne consegue che l'insieme di frasi dimostrabili dagli assiomi stessi, così come le frasi di verità stabilite, così come l'insieme di frasi soddisfacenti, non sono tutte ricorsive/decidibili.

Ma questo implica che l'insieme di frasi valide non è decidibile? Questo è stato nel testo classico Complesso computazionale Di Cristos H. Papadimitriou, a pagina 133. Ma poiché questo set è un sottoinsieme adeguato delle frasi dimostrabili, non vedo che questo sia implicito dal teorema di cui sopra? O mi manca qualcosa?