Le definizioni di enumerate ricorsivamente sono equivalenti?

Question

Ci sono un paio di definizioni di ricorsivamente enumerabile, per esempio in Giuda: $ A sottoinsieme mathbb {n} $ è chiamato re se esiste un $ Sigma^0_1 $ formula $ varphi (x) $ tale che

$$ a: = {n in mathbb {n}: mathbb {n} vdash varphi (n) } $$

A Shoenfield: Un predicato $ P $ è re se esiste un predicato ricorsivo $ Q $ tale che

$$ p ( bar {a}) leftrighrow esiste x q ( bar {a}, x) $$ per tutti $ bar {a} in p $. E qui ce n'è un altro Una nuova definizione di set ricorsivamente enumerabile?.

La mia domanda è: le definizioni di enumerano in modo ricorsivo equivalenti? Come mai?