Formula logica del primo ordine

Question

Se voglio esprimere nella logica del primo ordine che "gli elementi nell'insieme con il raggio più piccolo hanno il valore 0", sarebbe corretto quanto segue?

∀ e ₁ ∈ S. ∀ e ₂ ∈ S. Raggio e ₁ ≤ Raggio e ₂ ⇒ Valore e ₁ = 0?

Le variabili sono quantificate correttamente?

Grazie

Answer 1

Giusto per chiarire tra parentesi, quello che hai scritto di solito significa:

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. (Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0))

Questa affermazione afferma che il valore di ogni elemento è 0. Ecco come: scegli un e1 arbitrario, ora scegli e2 = e1 e abbiamo: Radius e1 <= Radius e1 --> Value e1 = 0. Poiché l'antecedente (cosa prima del -->) è vero, abbiamo Value e1 = 0. E poiché abbiamo creatonessuna ipotesi su e1, abbiamo forall e \in S. Value e = 0.

Il problema è che le tue parentesi sono spente.

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2) --> Value e1 = 0

Affinché l'antecedente sia vero ora, il raggio di e1 deve essere inferiore o uguale a ogni (al contrario di qualsiasi) altro raggio, che sembra quello che intendevi.

Answer 2

Penso che tu voglia un esiste

\\esiste e_1 .(\\forall e_2 raggio(e_1) <= raggio(e_2)) e (raggio(e_1) = 0)

Non sono sicuro della precedenza nella formula, ma ora che penso di aver capito la domanda, forse vuoi (dove M è la condizione di minima radius(e_1) < radius(e_2))

\\pertutto e_1 .((\\forall e_2 .M ) -> valore e_1 = 0)

Penso che la tua formula precedente potrebbe essere sbagliata per il seguente motivo.Supponiamo di avere elementi con raggi { 0, 1, 2 } e valori uguali a raggi.Quindi, avrai un caso in cui 1 <= 2, ma il valore non è zero.Se sto interpretando correttamente la tua formula originale,

\\pertutto e_1 .\\pertutto e_2 .P(e_1, e_2)

Quindi questo controesempio fornisce un caso in cui P è falso, quindi l'intera formula fallisce (ma l'esempio dovrebbe essere vero).

Answer 3

Quello che hai scritto è vero anche se non ci sono elementi con il raggio più piccolo.Se questo è desiderato, hai ragione;in caso contrario, è necessario aggiungere una clausola in tal senso:

(\forall e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0) \and (\exists e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2)