フェアケーキ-切削時のプレイヤーが参加し下旬

Question

通常の声明 フェアケーキカット問題 このすべての$n$選手をシェアでも同時に行います。しかし、多くの場合、選手着疑似生態系での実験を実施した。例えば、まるキーを$n$選手、そして新たなプレイヤーが届いる。

通常、公正なケーキを部門が必要な努力（例えば、しを要求する選手答えによら多くの質問のとき、プレーヤー数が大きい。

使用でき、既存事業部のキーを$n$選手のための新たな本部のケーキ$n+1$選手、最小限の追加力（よりもかなり少ない労力以上の再配布のケーキをゼロから)?

Answer 1

まいまいを提供する不明な点があれば、ここでお答えい"という思いを大切にしていたかを取得し研究論文のですが、かえるのではないかと思っている問題を定義する正式には、記載があることの難しさなのかもしれない。

背景.私の明状態のモデルケーキです。い分け隔$[0,1]$と$n$ます。各プレーヤ$i$は評価関数$v_i(S)$上サブセット$S$のケーキになります。ことを前提としますこの機能は確率の測定;では負でない、添加剤（越$A,B\subseteq[0,1]$,$v_i(AカップB)=v_i(A)+v_i B$)，$v_i([0,1])=1$である．こうした問題をクリアできるであ プロトコル またはアルゴリズムのクエリに選手のトレーニングに取り付け部分の間隔で出ています。この選手がmisreport/う答えます。

一部の論文において具体的な制限; 例えば, 評価機能は、線形、または区分的に定数.

ように割り当ての選手でき$\{S_1,\dots,般\}$.しがしたいのは、以下のプロパティのプロトコル:

• 均衡:あらゆるプレイヤーが$i$しての戦略を保障するた受値の少なくとも$(1/n)v_i([0,1])$.(か$i$'s視点でたく$1/n$の合計値をケーキになります。)
• envy-freeness:プレイヤーは戦略を保障するよう$v_i(S_i)\geq v_i(S_j)$は各プレーヤ$j$.(あらゆるプレイヤーが好む自らの作品、その他のプレイヤーです。)

ご注意envy-freenessとは比例を思料す.

また、"操作性にもしたいなどの切断に数個の多項式時間（または実際に計算可能性/constructabilityで--いたAxiomの選択のサブセットのケーキ！), います。

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特定の質問.二つのノートです。最初に、不明な点があれば、ここでお答えの問題を解決の問題:開始を含め厳正に対処するとともにホールケーキをプレーヤ$1$しましょう他のプレイヤーの到着をオンラインおよび繰り返すプロトコルです。くことが期待できることでこの問題をどのように標準のケーキカット設定供給させて頂いております。

第二に、そこには常に解決問題の全体をケーキから皆様や既知のアルゴリズムに再配布することが可能です。その質問がある場合は、少しエレガントではないかと思います。と思いを定量化す"ただし一部のサービスについては、再配布を必要と少ない時間は少ないカットよりバンスインターナショナルスタッ;および/またはどのような場合に選手は取得しいの大部分を現在のスライス?"

1. あるとしましょうenvy-無料配分のための$n$ます。どうした再配布を羨-無料配分の$n+1$のが現状です。

これができます。この発見は、羨望、効率的な配分が難しい問題です。しか知られるプロトコルを必要とする、無制限の数の削減のケーキは非常に複雑です。（Brams、テーラー る羨望の無ケーキ事業部プロトコル,1995年.) ていないものより、全体のケーキから皆さんに再分配す$n+1$剤を使用Brams-テイラー.

1. と仮定して、比例割当てのための$n$;どうした再配布を比例配分のための$n+1$?

と思うことはまだ難しいがより可).る場合を考えプレイヤーのケーキが均一ードルの1/n$規模なります。そしてどのような新しいプレーヤーが必要との入れ替え中です。ここでも悪い場合は:かプレイヤー$1$しての評価が正確に1ドル/n$彼女のスライスが、値player$2$'sスライスドル(n-1)/n$.かプレイヤー$2$価値を自分でスライスで1ドル/n$が、値player$3$'sスライスドル(n-1)/n$,ということを表していプレーヤ$n$を大切にし自分のスライスド1/n$選手$1$'sスライスドル(n-1)/n$.現在、新たなプレイヤーホームページから確認できます。どのような新しいプレイヤーたい、プロトコルとを組み替え、なにかをプレーヤ$2$選手$1$から、プレーヤ$3$選手$2$等

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一つの参照が ワルシュ、 オンラインでケーキを切断, では、アルゴリズム決定理論2011年 （pdfしている。するかという問題はあろうが、紙を想定し事前にお知らのエージェント数でお越しの際は、やは選手に割り当てる必要があり、作品それが終わる前にプロトコル）なのではないことを対象に実問題です。

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その再配布、比例割当てを維持する比例性は以下の通りです。てみましょう現在の$n$選手カットは彼の割り当てケーキを入$n+1$個身が同値です。プレーヤ$n+1$までの作品は、彼によれば、からそれぞれの$n$プレーヤーを行います。でりやすくする当然のことですが、そのような配分にも比例します。

Answer 2

ケーキ/エリアが半径$ r $の円$ c $であると仮定します。次に、カノニカルケーキカットによって$ n $のフェアピースを作成し、各プレイヤーに$ frac { pi r^2} {n} $の領域を割り当てることができます。その後、$（n+1）$を中央の周りに小さな円を割り当て、その後の新しいプレイヤーがその1つ（内側の円の嚥下部分）などに鳴ります。このようにして、すべてのプレイヤーは、最初の$ n+1 $プレーヤーのために単調な方法で縮小する1つの隣接するピース/プロットを取得し、後で参加する人のためにセンターに向かって移動します。

数字を解決するのは簡単です。最初の新しいプレーヤーについては、単に解決します

$ qquad pi r_1^2 = frac { pi r^2} {n+1} $

彼の陰謀の半径を取得するため。 2番目には、解決します

$ qquad begin {align} pi r_1^2＆= frac { pi r^2} {n+2} pi r_2^2 - pi r_1^2＆= frac { pi r r ^2} {n+2} end {align} $

両方の新しいプレイヤーのために（外側の）半径などを取得するなど。プレーヤー$ n + i $は外側の半径$ r_i = frac {r sqrt {i}} { sqrt {n + k}} $を$ k $追加プレイヤーが参加した後、私はこれを証明しませんでした。

これは、$ n = 6 $および$ k = 0,1,2,3 $で得られるものです。

^[ソース]

同じアイデアは、$ n $ sidesの通常のポリゴンで機能します。長方形を基本フォームとして仮定した場合、最初の$ n $ n $等しいサイズの列と次のプレイヤーの行を割り当てることで同様のことを行うことができます（片側から始めます）。