スプレーツリーの背後にある直観（自己バランスのとれた木）

Question

私は広さの木の基本を読んでいます。操作の償却コストは、n操作よりもo（log n）です。いくつかの大まかな基本的な考え方は、ノードにアクセスすると、それを根絶するためにそれを吸収するので、次にこれがすぐにアクセスされ、ノードが深くなるとツリーのバランスを強化するということです。

このサンプル入力に対して、ツリーがどのように償却o（log n）を実行できるかわかりません。

nノードのツリーがすでに構築されているとします。私の次のn操作はn読み取りです。深さnで深いノードと発言にアクセスします。これにはO（n）が必要です。確かに、このアクセスの後、ツリーがバランスが取れるようになります。しかし、最新のディープノードにアクセスするたびに言ってください。これはo（log n）以下になることはありません。次に、最初の費用のかかるO（n）操作を補償し、各読み取りの償却コストをO（log n）として償却するにはどうすればよいでしょうか？

ありがとう。

Answer 1

分析が正しく、操作が正しいと仮定します O(log(n)) アクセスごとに O(n) 初めて...

あなたが常にボトムモストの要素にアクセスする場合（何らかの最悪のオラクルを使用して）、一連のシーケンス a アクセスがかかります O(a*log(n) + n). 。したがって、操作ごとの償却コストは次のとおりです O((a*log(n) + n)/a)=O(log(n) + n/a) あるいは単に O(log(n)) アクセスの数が大きくなるにつれて。

これは、「償却されたパフォーマンス/時間/空間」とも呼ばれる漸近平均ケースのパフォーマンス/時間/空間の定義です。あなたは誤ってシングルだと思っています O(n) ステップは、すべてのステップが少なくともあることを意味します O(n);そのようなステップの1つは、長期的には一定の作業にすぎません。 O(...) 実際に何が起こっているのかを隠しています。 [total amount of work]/[queries]=[average ("amortized") work per query].

これはo（log n）以下になることはありません。

それは得るために必要です O(log n) 平均パフォーマンス。直感を得るには、次のWebサイトが良いかもしれません。 http://users.informatik.uni-halle.de/~jopsi/dinf504/chap4.shtml 具体的には画像 http://users.informatik.uni-halle.de/~jopsi/dinf504/splay_example.gif - 実行中に O(n) 操作で、検索したパスを動かして、それを木の上部に向かってスクランチします。あなたはおそらくそのようなものの数しか持っていません O(n) ツリー全体がバランスが取れるまで実行する操作。

これがそれについて考える別の方法です：

不均衡なバイナリ検索ツリーを検討してください。あなたは費やすことができます O(n) 時間のバランスをとる。要素を追加しないと仮定します*、それはかかります O(log(n)) 要素を取得するためのクエリごとの償却時間。バランスの取れたセットアップコストは、償却コストに含まれています。これは、答えの方程式で示されているように、あなたがしている無限の量によって消える（war星化される）一定であるため、償却コストに含まれています。 （*要素を追加する場合は、自己バランスをとるバイナリ検索ツリーが必要です。そのうちの1つはスプレーツリーです）