$ k $ disjoint三角形のためのFPTアルゴリズムを得るためのカラーコーディング

Question

次の問題を考慮してください。

入力：グラフ $ g=（v、e）$ 、整数 $ k \ in \ mathbb {n} $

出力： $ g $ <"> $ k $ vertex-disjoint trianglesです。 /スパン>？

カラーコーディングを使用して、ここ（スライド60から始まります）。 基準材料は以下の方法を提案する：

1. ランダムな色を選択する $ v vrightarrow [3k] $
2. $ 3K $ $ k $ trianglesの頂点があるカラフルな解決策があるかどうかを確認してください明確な色を使用してください。

2のためにこれを提案して、とりわけこの方法：

$ [3K] $ の$ \π$ すべての順列を試してみて、三角形があるかどうかを確認してください。色付き $（\ pi（1）、\ pi（2）、\ pi（3））、（\ Pi（4）、\ Pi（5）、\ Pi（6 ）、\ dots）$

色のあらゆる置換 $ \ pi $ をチェックする必要がある理由はわかりません。頂点の各トリプルをチェックするだけで十分ではないが、三角形があるかどうかを確認し、そうであれば、私達が見たことがない色を使用していない場合にのみこの三角形を数えるだけ？だから似ている：

1. 各トリプル $ x、y、z \ inv ：

2. $ x、y、z $ の場合、三角形と色 $ {c（x）、 c（y）、c（z）} $ colors_seen_so_far：

   2.1 colors_seen_so_far += $ \ {c（x）、c（y）、c（z）\} $

   2.2 num_triangles += 1

colors_seen_so_far= $ \ emptyset $ とnum_triangles="math-container"> $ 0 $

Answer 1

いいえ、これは正しくありません。

ターゲットとして、各外側三角形が1つの共有頂点（すなわち、中央三角形の各頂点が識別される）となるように、3つの外側の三角形と共に中央の三角形からなるグラフを有すると仮定する。外三角形の1つの頂点を持つ。

明らかに、 $ k= 3 $ の解の解決策は、3つの外側の三角形を取り、内側の三角形を取り除きます。

ランダムカラーリングが頂点ごとに明確な色を割り当てると仮定します（そうでなければカラフルな解決策はありません）。

あなたの griedy アルゴリズムが最初に中央の三角形を考慮している場合は、常にそれを取りますが、これは間違っています。