傷から$ N $要素赤黒ツリーを形成するためのタイトな上限

Question

順序統計ツリー（各ノード $ x $ にある拡張レッドブラックツリーの拡張には、ノードの数を表す追加のフィールドが含まれています。 $ x $ に根ざされたサブツリーは、 $ i $ を見つけることができます。 $ O（lg（n））$ 最悪の場合の時間。 $ i $ を見つける要素の動的セットを表すアレイの場合、 $で実現できます。 o（n）$ 最悪の場合の時間。[ $ n $ は要素の数です]

今、 $ n $ 要素赤黒ツリーを形成するためのタイトな上限を見つけるように感じました。配列内の設定要素と $ o（n）$ 時刻 "または" < $ o（f（n））$ 時刻と言う）そして次に $ o（lg（n））$ 時間 "。

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非常に荒い分析は次のとおりです。 $ n $ の要素を挿入するに挿入します。 $ o（lg（n））$ 時間と挿入する $ n $ 要素がありますので、 $ O（nlg（n））$ 時間。今度は赤黒木に要素しかないので、高さがかなり少ないので、木に挿入する時期です。

私は以下のように詳細な分析を試みた（しかし失敗したが）：

$ j= i + 1 $ の挿入中にlet thelementツリーの高さは $ 2 .lg（i + 1）+ 1 $ 。適切な $ c $ 、合計実行時間、

$$ t（n）\ leq \ sum_ {j= 1} ^ {n} c。（2.LG（I + 1）+ 1）$$

$$= c。\ sum_ {i= 0} ^ {n-1}（2.lg（i + 1）+ 1）$$ < / P>

$$= c。\ left [\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 2.Lg（i + 1）+ \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 1 \ right] $$

$$= 2C \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} LG（i + 1）+ Cn \ Tag1 $$

今

$$ \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} LG（I + 1）= LG（1）+ LG（2）+ LG（3）+ ... + LG（N）= LG（1.2.3 ....N）\ TAG2 $$

$$ \ prod_ {k= 1} ^ {n} ^ {n} ^ {n} ^ {n} n、\ text {どちらが非常に緩い上限} \ tag 3 $$

$（3）$ の使用 $（2）$ と結果を $（1）$ 私たちは $ t（n）= o（nlg（n））$ です。大まかな分析と同じ...

$（3）$ より良いことをすることができますか？

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参照されているすべてのノードは、赤黒ツリーの内部ノードです。

Answer 1

$ n $ 要素に赤黒ツリーを構築するには $ \ omega（n \要素のキーを比較することだけが許可されている場合にのみ、log n）$ 。 この通知を見るために、BSTの順序訪問は、それらのキーの順序を増やすとノードを訪問します。

時間内に赤黒ツリーを構築できる場合は、 $ t（n）= o（n \ log n）$ である $ n $ の要素を時刻 $ O（t（n）+ n）= o（n \ log n） ）比較ベースのアルゴリズムのソートの下限に矛盾する$ 。

一方、要素が既にソートされている場合は、 $ o（n）$ に赤黒ツリーを作成できます。最後のレベルが不完全な場合、バランスの取れたBSTは、そのノードを赤くし、もう1つのノードを黒に色します。 再帰的アルゴリズムの時間の複雑さは、再帰式 $ t（n）= 2t（n / 2）+ O（1）$ 。