2つの任意の文字列の平等をチェックする予想される時間の複雑さは何ですか？

Question

単純な（ナイーブ？）回答はO（n）になります。ここで、nは短い文字列の長さです。最悪の場合、文字のペアをすべて比較する必要があります。

これまでのところ良く。 2つの等しい長さ文字列の確認がO（N）ランタイムを必要とすることがすべてo（n）ランタイムを必要とすると私たち全員が同意できると思います。

しかし、たくさんの（ほとんど？）言語（Python 3.7を使用しています）文字列の長さを格納して、一定の時間ルックアップを可能にします。そのため、2つの等しい長さ文字列の場合は、len(string_1) != len(string_2)を一定にするだけで簡単に確認できます。 Python 3が確かにこの最適化を行うことを確認できます。

今、2つのの任意の文字列（任意の長さの）の平等をチェックしている場合、それは弦が等しくないとはるかに低い（私は信じています）。等しい長さの。どちらの（統計的に）確実にそれらを常に一定に比較することができます。

だから我々は、o（n）の非常にまれな最悪の場合で、o（1）平均で2つの任意の文字列を比較することができます。弦の比較を次に（1）にすると、ハッシュテーブルルックアップがO（1）になると考えるのと同じように、o（1）になると思いますか？

Answer 1

運転の期待時間の複雑さについて説明するために、入力に配布を指定する必要があります。 $ n $ が意味するものを説明する必要があります。

ただし、

は注意しなければならない。たとえば、コメント内の提案を検討するには、最大20の長さの単語にわたるある種の分布を考慮してください。この場合、文字列比較は明らかに $ o（1）$ は、20がただ一定です。それを回避する方法はいくつかあります：

• 非漸近的な時間の複雑さを求めます。時間の複雑さは計算モデルに大きく依存しているので、アクセスする入力メモリセルの数を数えることができます。

• パラメータ $ m $ に依存する入力分布を指定してから、 $ n $ の2つの場合、おおよそ4つのアクセスがあります。対照的に、文字列がコレクションからランダムに選択されている場合は、 $ 0 ^ i1 ^ {ni} $ から、アクセス数はおおよそ $（2/3）n $ 。これら2つの分布は、漸近的表記を使用していても分離することができます。アルゴリズムは、最初の配布で $ o（1）$ で実行され、 $ \ theta（n）$ 2番目の

  別の問題は、 $ n $ の意味です。たとえば、文字列 $ 0 ^ m $ を考慮して、 $ m \ sim g（1/2）$ 幾何学的ランダム変数です。長さ $ a、b $ の入力を実行すると、実行時間は $ \ theta（\ min（a、b）です。 ））$ 。 $ n= a + b $ に関してこれをどのように表現するべきですか？ 1つの選択肢は、入力長が $ n $ であることを考えると、予想される実行時間を要求することです。この場合、 $$ \ mathbb {e} [\ min（a、b）]=sum_ {a= 1} ^ {n-1} \ frac {（1/2）^ a（1/2）^ {n-1-a {\ sum_ {a '= 1} ^ {n-1}（1/2）^ {a'}（1/2）^ {n-1-a '}} \ min（a、na）=frac {1} {n-1} \ sum_ {a= 1} ^ {n-1} \ min（a、na）\ man {n} {4} $$ したがって、予想される実行時間は $ \ theta（n）$ です。