2つの別々の収束率で再帰を解決する方法
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29-09-2020 - |
質問
次の再帰を解決する正しい方法は何ですか。 $ t(n)= t(\ lceil \ frac {n} {2} \ Rceil)+ t(n-2)$
または基本的に異なる速度で収束する2つの部分を有する任意の再帰;
私はBIG $ o $ 近似を可能な限りタイトに入ろうとしていますが、私はどんな「伝統的な」アプローチでそれを理解することができませんでした。
解決
初期条件を取ります $ t(0)= 0 $ と $ t(1)= 1 $ A018819 (Shift)。これは本質的に A000123 。漸近値は $ t(n)= n ^ {\ theta(\ log n)} $ です。 2番目のエントリの下の参照には、より正確な漸近情報が含まれています。
より明示的に、A018819は再発 $ a(2m + 1)= a(2m)= a(2m-1)+ a(m)$ を満たしています。 $ a(0)= a(1)= 1 $ 。 $ a(n)= t(n + 1)$ を誘導的に表示することができます。確かに:
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$ n= 2m + 1 $ の場合 $$ t(n + 1)= t(2m + 2 )= t(m + 1)+ t(2m)= a(m)+ a(2m - 1)= a(2m)= a(2m + 1)= a(n)。$$ < / li>
- $ n= 2M $ の場合、 $$ t(n + 1)= t(2m + 1)= T(M + 1)+ T(2M-1)= A(M)+ A(2M-2)= A(M)+ A(2M-1)= A(2M)= A(N)。$$
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