「継続性」という用語は、数学やCSでさまざまな意味を持ちますか？

Question

質問のいくつかの声明のためにこの質問をしてください私を疑わしくする。

私はコンピュータの科学者ではなく、私はTuring Machineを持っていますが、私はデバイスで実行された代数的な操作について考えているときに、チューリングマシンが念頭に置いていません。

質問に答えを読みました「なぜ継続的な関数はなぜですか？」とそれを理解した次の方法：

デバイスの入力は無限の長さ（小数点の後に無限数桁数の10進数）があるため、 $ n $ 出力の桁数

代わりに、デバイスは $ m（n）$ $を書き込んだときにのみ、入力の$ m（n）$ を持つことができます。 N $ 出力の桁数

最初の $ n $ いくつかの関数の出力の桁数は、最初の $ m（n）に依存します。入力の$ 数字、関数は連続しています。

しかし、この議論を正しく理解した場合、計算理論における「連続」という単語は数学の「連続」という単語と同じではありません：

ゼロへの丸めは、小数点までの入力を読み取るだけであれば（SPANクラス="math-container"> $ m（n）=text {const。} $ ）;しかしながら、計算されている数学的関数は、その用語の数学的定義によると「連続」ではない。

桁別操作を実行することもできます（ $ m（n）= n $ ）、小数点の後に特定の桁を交換することもできます。たとえば、4sと9sによってすべての9sを置き換えます。理解する限りでは、計算されている機能は $ \ mathbb {r} $ の任意の間隔では継続的ではありません（ただし、 $ [0、\ infty）$ と左連続 $（ - \ infty、0] $ ）。

そして私が概念的な間違いをしなかったならば、バランス数字システム （1960年代ののロシアのコンピュータ）同様のアルゴリズム（交換） 4sおよび0sの代わりに1sと4s）は、 $ \ mathbb {r} $ <<} $ < /スパン>

質問：

計算性は使用されている数字システムに依存しています（平衡数値システムを推奨される例として）、または使用されている特定の数字システムを使用しても「計算可能」という用語は？

は、「連続」という用語が数学とCSの意味ではないという観察が正しいですか？

Answer 1

私たちが実数を表すために10進数の拡張を使うならば、あなたの推論は機能します。しかし、それは私たちに計算性の非常にひどく振る舞いの概念を与えます：

命題：3による乗算は10進表現に対して計算可能ではありません。

プルーフ：入力が0.3333333 ...ある程度の点で、私たちの計算は何かを出力し始める必要があります。最良の選択肢は0です。最初のケースでは、私たちの入力が次の数字として4桁を持っていなかった場合、私たちはねじ込みました。 2番目のケースでは、A 2は私たちを間違えます。したがって、解決策の保証されたプレフィックスを出力することはできません。

別の塩基を使用すると、計算性の異なる概念が得られますが、どれも適していません。すべての利回りの計算能力の同じ概念が次のとおりです。

1. コードをコードする $（q_n）_ {n \ in \ in \ mathbb { $ x - q_n <2 ^ { - n} $ 。
2. $ \ { - 1,0,1 \} $ を使用して、符号付きディジット表現を介して実際にコードをコードします。
3. コードをコードする $ x $ の合理的な間隔として $（i_n）_ {n \ in \ in \ mathbb $ \ bigcap_ {n \ in \ mathbb {n}} $
}}}}} $

本物の関数の計算がどのような種類の表現を使用していないかを指定せずに説明した場合は、これらのうちの1つ（または別の同等のもの）を意味します。これは、Realsのeuclideanトポロジを使用しているのではないのと同じように、それが標準的なケースです。私たちは今述べることができます：

定理：一部のOracleとの相対演算可能なREALS（標準表現）の関数は、まさに連続機能です（euclideanトポロジーをWRT）。

丸めに戻る、これは完全に正確な丸めが機能できないことを示しています。しかし、私たちはこれを制限されないように迂回することができます。たとえば、次のタスクは計算可能です。

実数 $ x \ in [0,1] $ x \ in [0,1] $ 、 $ 0 $ < / span>または $ 1 $ 。 $ x <0.501 $ の場合、 $ 0 $ は受け入れ可能な解決策と $ x> 0.499 $ 、その後 $ 1 $ は許容可能な解決策です。

上記のタスクへの入力が $ [0.499,0.501] $ [0.499,0.501] $ [SPAN>からのものである場合、私たちが見ている本物に依存しない答えしかし、私たちのアルゴリズムが読み取るという本当のための特定のコードで。それはアルゴリズムについての推論をわずかにより面倒なものにすることができますが、それを避けることはできません。