再発関係の解決$ T（N）\ LEQ \ SQRT {n} t（\ sqrt {n}）+ n $

Question

条件： $ t（o（1））= o（1）$ と $ t（n\ LEQ \ sqrt {n} t（\ sqrt {n}）+ n $ 。この再発関係を解決する必要があります。MEの最も難しい部分は、サブプロレクトーの数です。ヒント？私の考えは、 $ c=sqrt {n} $ "$ c ^ 2= n $ それで、 $ t（c ^ 2）\ leq ct（c）+ c ^ 2 $ がありますが、よく見えません。

Answer 1

$ k= k（n）$ $ n ^ {2 ^ {-k}} <2 $ 。同等に $ k $ は、 $ k> \ log_2（\ log_2（n））$ 。そのため、 $$ k=lceil \ log_2（\ log_2（n））\ Rceil $$ $ n、n ^ {2 ^ { - 1}}、n ^ {2 ^ {2}}、n ^ {2 ^ {2}}、...、n ^ {2 ^ {-k}} $ $$ \ begin {align} t（n）＆\ leq n ^ {1/2} t（n ^ {1/2}）+ n \\ ＆\ leq n ^ {1/2 + 1/4} t（n ^ {1/4}）+ 2n \\ ＆\ leq n ^ {1/2 + 1/4 + 1/8} t（n ^ {1/8}）+ 3n \\ ＆... \\ ＆\ leq n ^ {1/2 + 1/4 + ... + 1/2 ^ k} t（n ^ {2 ^ { - k}}）+ kn \\ ＆= n ^ {1-2 ^ { - k}} o（1）+ kn \\ ＆\ leq n ^ {1-1 / \ log_2（n）} O（1）+ n \ log_2（\ log_2（n））\\ ＆=frac {n} {2} O（1）+ n \ log_2（\ log_2（n）） \ end {align} $$

だから、 $$ t（n）\ in o（n \ log_2（\ log_2（n））$$