$ k $ disjoint 삼각형에 대한 FPT 알고리즘을 얻는 색상 코딩

Question

다음과 같은 문제를 고려하십시오 :

입력 : 그래프 $ g= (v, e) $ 및 정수 $ k \ \ mathbb {n} $

출력 : $ k $ vertex-disjoint 삼각형에 $ g $ < / span>?

우리는 여기서 (슬라이드 60에서 시작). 참조 자료는 다음과 같은 방법을 제안합니다.

1. 임의의 색칠 $ V \ Nowarrow [3K] $
2. $ 3k $ 수학 컨테이너 "> $ k $ 삼각형의 vertices가있는 다채로운 솔루션이 있는지 확인하십시오. 별개의 색을 사용하십시오.

에 대해서는 이것이 이것을 제안합니다.이 방법은 다음과 같습니다.

$ \ pi $ $ [3K] $ 을 확인하고 삼각형이 있는지 확인하십시오. $ (\ pi (1), \ pi (2), \ pi (3)), (\ pi (4), \ pi (5), \ Pi (6) ), \ dots) $

모든 순열을 확인 해야하는 이유를 이해하지 못합니다. $ \ pi $ . 정점의 각 트리플을 확인하기에 충분하지 않을 것입니다. 삼각형이 있는지 확인하십시오. 그렇다면 우리가 본 적이없는 색상 만 사용하는 경우에만이 삼각형 만 계산하십시오. 그렇게 그렇게 :

각 트리플 $ x, y, z \ v $ :
에 대한

1. :

2. $ x, y, z $ $ {c (x), c (y), c (z)} $ colors_seen_so_far가 아님 :

   2.1 COLORS_SEEN_SO_FAR += $ \ {C (x), c (y), c (z) \} $

   2.2 num_triangles += 1

colors_seen_so_far= $ \ eventyset $ 및 num_triangles= $ 0 $

Answer 1

아니요, 이것은 올바르지 않습니다.

카운터 샘플로, 각각의 외부 삼각형이 하나의 공유 정점 (즉, 중앙 삼각형의 각 꼭지점이 식별 된 각각의 정점이 식별되도록 각각의 외부 삼각형이 3 개의 외부 삼각형과 함께 이루어진 그래프가 있다고 가정합니다.바깥 쪽 삼각형 중 하나의 정점이있는 경우).

$ k= 3 $ 의 솔루션은 3 개의 외부 삼각형을 가져 와서 내부 삼각형을 가져 가지 않습니다.

임의의 착색이 모든 정점에 별개의 색을 할당한다고 가정합니다 (그렇지 않으면 다채로운 솔루션이 없습니다).

욕심 알고리즘이 처음으로 중앙 삼각형을 고려하면 항상 그것을 가져갈 수 있지만 이는 올바르지 않습니다.