두 간격 사이의 겹치는 것 : 추론 / 알고리즘 분리 및 겹치는 간격 세트를 찾는 것

Question

양의 정수 {1, 2, 3, strong> 및 해당 정수 번호 줄을 고려하십시오.

4 개의 정수 숫자, B, C 및 D가 있다고 가정합니다.

예 :

_________________ ___________________________ b __________________ ___________________________ __________ d _________________________

또는

_________________ ___________________________ b __________________ ___________________________ c ____________________________ d _______

모든 연속 번호 A, ...., B 및 간격 CD의 모든 연속 숫자 C, ..., d.

나는 단순한 아직 추상적이고 일반 숫자를 알고 싶습니다 (수학적 시위가 정말로 APRECIATION)을 알고 싶습니다. 숫자, AB 및 CD.

실시 예 1 : ab= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 및 cd= {4, 5, 6, 7}, 우리는 다음을 가지고있다 각 설정 AB 및 CD의 하위 집합 :

• ab : {2, 3}, {4, 5, 6, 7} 및 {8, 9}
• CD : {4, 5, 6, 7}

실시 예 2 : ab= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 및 CD= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11, 12}, 각 설정 AB 및 CD에 대한 다음 하위 집합이 있습니다.

AB 용
• : {2, 3}, {4, 5, 6, 7, 8, 9}
• CD 용 : {4, 5, 6, 7, 8, 9} 및 {10, 11, 12}

그러나 어느 것이 두 개의 주어진 정수 숫자 사이의 숫자가 분리되고 겹치는 숫자의 숫자 세트 뒤에 훌륭하고 간단한 추론이 될 것입니까?

어떤 단서를 위해서는 대단히 감사드립니다 !!

Answer 1

$ a $ 및 $ b $ $ a \ le b $ , $ [a, b) $ 은 숫자로 구성된 반 닫힌 반 개방 간격을 나타냅니다 < SPAN 클래스="수학 용기"> $ a, a + 1, \ cdots, b-1 $ . 특히 $ a 이면 $ ba $ 숫자가 $ [a, b) $ . $ a= b $ 인 경우 $ [a, b) $ 에 숫자가 없습니다. 예를 들어

• $ [0,1) $ 은 0을 의미합니다.
• $ [0,0) $ 및 $ [3, 3) $ 은 숫자가 없음 .
• $ [5,11) $ 은 숫자 $ 5,6,7,8,9,10을 의미합니다. $ 5,6,7,8,9,10.
• $-2, -1, 0, 1, 2 $ 을 나타 내기 위해 $ [ -2, 3) $

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반 닫힌 반 개방 간격의 멋진 속성 : $ l \ l le m \ l r $ , $ [l, r)= [l, m) \ sqcup [m, r) $

증명 : 나는 그것이 정의에 의해 분명한 것이 두려워합니다. 완료.

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$ [a, b) $ 및 $ [C, D) $ 이라고 가정합니다. 여기서 $ a \ l lt b $ 및 $ c \ l lt d $ . 그런 다음 $ [a, b) $ 겹치는 $ [C, D) $ $ \ max (a, c) \ lt \ min (b, d) $ .

증명 :

" $ \ 권리 $ ": $ n $ $ [a, b) $ 및 $ [C, D) $ , 즉, $ a \ le n \ l lt b $ 및 $ c \ l n \ l lt $ . 그런 다음 $ \ max (a, c) \ le n \ lt \ min (b, d) $ .

" $ \ lewarrow $ ": $ a \ le \ max (a, c) \ lt \ min ( b, d) \ LE B $ , 즉 $ \ max (a, c) \ in [a, b) $ . 마찬가지로 $ \ max (a, c) \ in [c, d) $ . 따라서 $ [a, b) $ $ [C, D) $

완료되었습니다.

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$ [a, c) $ 및 $ [b, d) $ 겹침을 가정 해보자. 그런 다음 다음과 같은 분해가 있습니다.

• $ [a, b)= [a, \ max (a, c)) \ sqcup [\ max (a, c), \ min (b, d)] \ sqcup [\ min (b, d), b) $
• $ [C, D)= [C, \ MAX (A, C) \ sqcup [\ max (a, c), \ min (b, d)] \ sqcup [\ min (b, d), d) $

증명 :

$ a \ le \ max (a, c) \ le \ min (b, d) \ le b $ . 그래서,

$$ \ begin {Align} [A, B) &= [a, \ max (a, c)) \ sqcup [\ max (a, c), b) \\ &= [a, \ max (a, c)) \ sqcup [\ max (a, c), \ min (b, d)] \ sqcup [\ min (b, d), b). \ end {정렬} $$

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예제 1 : $ i={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $ 및 $ j= {4, 5, 6, 7 \} $ , $ i= [2,10 ) $ 및 $ j= [4,8) $ . 우리는 다음과 같은 분해를 가지고 있습니다.

• $ [2,10)= [2, 4) \ sqcup [4, 8) \ sqcup [8,10) $
• $ [4,8)= [4, 4) \ sqcup [4, 8) \ sqcup [8,8)= [4,8) $ .

예 2 : $ i= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} $ 및 $ j= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} $ , 그런 다음 $ i= [2,10) $ 및 $ j= [4,13) $ . 우리는 다음과 같은 분해를 가지고 있습니다.

• $ [2,10)= [2, 10) \ sqcup [10,10)= [2, 4) \ sqcup [4, 10) $
• $ [4,13)= [4, 4) \ sqcup [4, 10) \ sqcup [10,13)= [4, 10) \ sqcup [10, 13) $ .

위의 예는 두 가지 중첩 간격을 분리 된 간격으로 분리하는 알고리즘을 명확하게 나타내야합니다.