왜 $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n})}} $ {3- \ Δ $ \ {3- \ Δ $ \ {3- \ Δ $}을 반박하지 않습니다.

Question

나는 간단한 quesiton을 가지고있다 :

모든 쌍 짧은 경로 (APSP)가 $ o (n ^ {3- \ Δ)} $ - 모든 $ \ 델타> 0 $ seth.

또한

$ \ frac {n} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n})}}에 APSP를 해결할 수있는 결과가 있습니다. $ Ryan Williams .

그러나이 개선은 추측을 반박하지 않습니다.

그래서, 내가 한 일은 다음과 같습니다 : $ \ lim_ {n -> \ infty} \ frac {(\ frac {n ^ 3} {2 ^ { \ sqrt {\ log n}})} {n ^ {3- \ delta}= 0 $ 이렇게 $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n})}}} $ 은 다른 하나보다 낫습니다. 그래서 우리가 추측을 반박한다는 것을 의미하지는 않습니다.

이 기능이있을 때 : $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n})}} $ , 나는 큰 오메가가 그 부분에만 그것을 비교하는 방법을 알지 못했습니다.이 하나를 가지고있을 때 일반적으로 일반적으로 비교하는 방법은 무엇입니까?

미리 감사드립니다!

Answer 1

"No $ o (n ^ {3- \ delta}) $ 알고리즘이 존재합니다"(일정한 $ \ 델타> 0 $ ) polynomial factor 보다 빠른 $ \ theta (n ^ 3)보다 빠른 알고리즘이 없다는 것을 의미합니다. $ . 일부 polynomial 요인보다 더 빠른 알고리즘을 제외하지 않습니다. 예를 들어 $ \ span> $ \ span>의 실행 시간이있는 알고리즘을 제외하지 않습니다.

귀하의 경우, SET $ 2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n})} $ 은 다항식보다 느리게 성장하는 기능을 포함합니다. 예를 들어 $ 2 ^ {\ sqrt {\ log n}} $ . 이를 보려면 일정한 $ \ epsilon> 0 $ 을 선택하고 다음을 확인하십시오.

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 ^ {\ sqrt {\ log n}}} {n ^ \ epsilon}= \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 ^ {\ sqrt {\ log n}}} {2 ^ {\ epsilon \ log n}= \ lim_ {n \ to \ infty} 2 ^ {\ sqrt {\ log n} - \ epsilon \ log n}= 0. $$

Answer 2

질문의 비교가 잘못된 것처럼 보입니다.

$$ \ begin {정렬} \ lim_ {n -> \ infty} \ frac {\ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ sqrt {\ log n}}}} {\ \n^ {3- \ 델타} \ \} &=LIM_ {n -> \ infty} \ frac {n ^ {\ delta}} {2 ^ {\ sqrt {\ log n}}}=lim_ {n -> \ infty} \ frac {2 ^ {\ delta \ log n}} {2 ^ {\ sqrt {\ log n}}} \\ &=lim_ {n -> \ infty} 2 ^ {\ delta \ log n- \ sqrt {\ log n}}=lim_ {m -> \ infty} 2 ^ {\ delta m- \ sqrt {m} } \\ &=lim_ {m -> \ infty} 2 ^ {\ sqrt m (\ delta \ sqrt {m} -1)} \\ &= 2 ^ {+ \ infty}= + \ infty. \\ \ end {정렬} $$

여기 $ \ log n $ 은 $ \ log_2n $ 으로 이해됩니다. $ \ log_a n=log_a2 \ cdot \ log_2n $ , $ \ log $ 은 1보다 큰 숫자로 전환됩니다.

실제로 일정한 $ C> 0 $ 은 더 작고 일정한 $ \ delta> 0 $ 은 작지만, 우리는 아직도, 비슷한 논쟁,

$$ \ lim_ {n \ to \ frac {n ^ 3} {2 ^ {c \ sqrt {\ log n}}}} { \ \ \ {n ^ {3- \ delta} \ \ \}}= + \ infty. $$

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$ \ lim_ {n -> \ infty} \ frac {\ frac {\ 3} {2 ^ {\ sqrt {\ log n}}} {\ \ \n^ {3- \ Δ} \ \}= 0 $ 이렇게, $ \ frac {n} {2 ^ {\ omega (\ SQRT {\ log n})}}} $ 은 다른 하나보다 낫습니다. 그래서 우리가 추측을 반박한다는 것을 의미하지는 않는 이유는 무엇입니까?

더 조심스럽게 위의 추론에서 또 다른 실수가 있습니다. $ \ lim_ {n -> \ infty} \ dfrac {\ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ sqrt {\ log n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ^ {3- \ Δ} \ \}= 0 $ , 그것은 그것이 추측을 반박 할 것이라는 것을 의미하지는 않습니다. 요점은 "APSP는 시간 $ \ dfrac {n ^ 3} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n \})}} $ "시간 $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {0.01 \ sqrt {\ log n \ \}}}}에 해결 될 수 있기 때문에 사실 일 수 있습니다. $ $ \ frac {n} {2 ^ {\ sqrt {\ log n \ \}}} $ \ / span> " . "APSP가 시간 $ \ dfrac {n ^ 3} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n})"라는 사실을 사용하려는 경우 }} $ "추측을 반박하려면

를 보여 주어야합니다.

$$ o (n ^ {3- △ △}) \ CAP \ FRAC {n ^ 3} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ log n}) }}=eqwhyset, $$ 또는 일반 단어로 $ f \ \ omega (\ sqrt {\ log n}) $ $ \ dfrac {n ^ 3} f \ in (n ^ {3- \ delta}) $ .

실제로 다른 극단적 인 것은 사실입니다. $ \ dfrac {n ^ 3} f \ in (n ^ {3- \ delta}) $ 모든 $ f \ in \ omega (\ sqrt {\ log n}) $