운동을위한 다 변수 방정식을 해결합니다

Question

함수 $ f (m, n) $ $ t (m, n) $ 재발성 관계가 특징 인

$$ \ begin {Align} t (m, \ n) &= 2T \ BIGL (\ fRAC {m} {2}, \ frac {n} {2} \ bigr) + C_0 \ log n + c_1. \\ t (m, \ 1) &= t \ bigl (\ frac {m} {2}, 1 \ bigr) + c_1 \\ t (0, \ n) &= 1 \\ t (m, \ 0) &= 1 \ end {정렬} $$

고정 된 $ m $ 이는 $ o (n) $ 입니다.그리고 고정 된 $ n $ 이는 $ o (m) $ 입니다.그러나 Variable $ M $ 및 $ n$ .

$ m $ 및 $ n $ ?

Answer 1

$ m= 2 ^ a $ , $ n= 2 ^ b $ 이라고 가정합니다. $ C_0= 1 $ , $ c_1= 0 $ 이고 기본 경우는 $ T (1, \ cdot)= T (\ cdot, 1)= 0 $ . 그때 $$ t (2 ^ a, 2 ^ b)= 2t (2 ^ {a-1}, 2 ^ {b-1}) + b= 4t (2 ^ {a-2}, 2 ^ {b-2})) + B + 2 (B-1)=CDOTS $$ Summands의 수는 $ C=min (a, b) $ 을 사용 하고이 표기법을 사용하여 얻습니다. \ begin {Align} t (2 ^ a, 2 ^ b) & b + 2 (b-1) + 4 (b-2) + \ cdots + 2 ^ {c-1} (b-c + 1) \\ &= (1 + 2 + \ CDOTS + 2 ^ {C-1}) b - 2 ^ 1 (1) - 2 ^ 2 (2) - \ cdots - 2 ^ {C-1} (C-1) \\ &= (2 ^ C-1) B - 2 ^ C C + 2 (2 ^ C-1) \\ &= 2 ^ C (B + 2-C) - (B + 2). \ end {정렬} 다시 말해, $$ t (2 ^ a, 2 ^ b)= \ 시작 {사례} 2 ^ {b + 1} - (b + 2) & \ text {if} a \ geq b, \\ (B + 2) (2 ^ A-1) - A2 ^ a & \ text {if} b \ geq a. \ end {사례} $$ $ m \ geq n $ 이면 $ t (m, n)=theta (n) $ 및 $ N> M $ 을 사용하면 $ T (m, n)=theta (m \ 로그 (n / m) + m) $ .