산술 사전을 사용하여 기능을 표현합니다

Question

나는 "cs"클래스에서 보았습니다. Change - "모든 재귀 (계산 가능한) 함수 $ f $ 을 사용하여 표현할 수 있습니다.산술 사전 { $ C_0, C_1, F _ + (,), f_x (,), r_ \ le (,) $ } 구조 { $ d=mathbb {n}, c_0= 0, c_1= 1, f _ + (a, b)= a + b, f_x (a, b)= ab, r_ \ le (a,b)= a \ le b $ } "}"

학생들의 일부가 "계산 모델"과정을 가져 가지 않았기 때문에이 정리를 증명하지 않았습니다 (나는 그것을 받아 들었습니다)

이 정리에 대한 증거를 어디에서 찾을 수 있습니까?미리 감사드립니다!

Answer 1

나는 이것이 당신이 무엇을 찾고 있는지 정확하게 확신하지 못하지만, S. Barry Cooper가 의 정리 3.2.1에서 원하는 것을 발견 할 수 있습니다.

모든 재귀 기능은 PA에서 표현할 수 있습니다.

재귀 함수 $ f $ 에는 2 진 술어 $ f $ 에 존재합니다 자연수 $ x $ 및 $ y $ 에 대한 산술의 언어 $$ F (x)= y ~ \ 권한 ~ \ vdash_ {pa} f (x, y) $$ 과 $$ F (x) \ neq y ~ \ neq y ~ \ \ \ vdash_ {pa} \ lnot f (x, y) $$ 여기서 $ \ vdash_ {pa} $ 은 'PA가 증명'을 의미합니다.

이 정리는 Gödel의 유명한 불완전한 정리 의 중심이므로 Ch를 살펴보고 싶을 수도 있습니다. 언급 된 책의 8 개는 논의되고 '대표 가능성'의 개념이 '반 대표'로 확장되어 C.E. 세트를 설정합니다.