$ n $ element 붉은 색 나무를 처음부터 형성하기위한 꽉 상한

Question

주문 - 통계 트리 (각 노드 $ x $ 에있는 증강 된 레드 블랙 트리가 노드의 수를 나타내는 추가 필드가 포함되어있는 red-black 트리가 포함되어 있음을 알게되었습니다. $ x $ 에서 뿌리 둔 하위 트리 $ i $ th 주문 통계는에서 수행 할 수 있습니다 $ o (LG (n)) $ 시간은 최악의 경우입니다. 이제 $에서 달성 될 수 있습니다. o (n) $ 최악의 경우 시간. [ $ n $ 은 요소 수입니다.

이제 $ n $ 요소를 형성하기 위해 꽉 묶인 상한을 찾는 것처럼 느껴졌으므로 붉은 검은 나무로 숫자가 더 나은 것에 대해 논평 할 수 있습니다. " 배열의 요소 세트 및 $ o (n) $ 시간 "또는"빨간색 검은 색 트리의 요소를 유지하는 "<스팬 class="수학 용기"> $ o (f (n)) $ 시간을 $ o (lg (n)) $ 시간 ".

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매우 거친 분석은 다음과 같으며 요소 빨간색 - 검은 색 트리가 $ o (lg (n)) $ 시간과 $ n $ 요소가 있습니다. $ o (nlg (n)) $ 시간. 이제이 분석은 빨간색 검은 색 나무에 요소가 거의 없을 때 마찬가지로이 분석은 높이가 상당히 덜이므로 트리에 삽입 할 시간입니다.

나는 다음과 같이 상세한 분석을 시도하려고 시도했다 (그러나 실패했다) :

$ j= i + 1 $ th 요소의 높이가 at $ 2 .lg (i + 1) +1 $ . 적절한 $ C $ , 총 실행 시간,

$$ T (n) \ LEQ \ SUM_ {j= 1} ^ {n} c. (2.LG (i + 1) +1) $$

$$= c. \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} (2.LG (i + 1) +1) $$ < / P>

$$= c. \ left [\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 2.LG (i + 1) + \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 1 \ right] $$

$$= 2C \ SUM_ {i= 0} ^ {N-1} LG (i + 1) + CN \ Tag1 $$

지금

$$ \ SUM_ {i= 0} ^ {N-1} LG (i + 1)= LG (1) + LG (2) + LG (3) + ... + LG (n)= LG (1.2.3 .... n) \ tag2 $$

이제 $$ \ prod_ {k \ leq n ^ n, \ text {매우 느슨한 상한 바운드} \ tag 3 $$

$ (3) $ $ (2) $ 및 결과를 $ (1) $ 우리는 $ t (n)= o (nlg (n)) $ 은 거친 분석과 동일 ...

$ (3) $ 보다 더 잘 수행 할 수 있습니까?

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모든 노드는 빨간색 트리의 내부 노드입니다.

Answer 1

$ n $ 요소를 $ \ omega (n \ 로그 n) elements 키를 비교할 수있는 경우 $ . 이 통지서를 보려면이 통지서를 보려면 모든 BST 방문이 키가 늘어나는 순서를 증가시키는 노드를 방문합니다.

$ t (n)= o (n \ log n) $ 에도 빨간색 검은 색 트리를 만들 수 있다면 $ n $ 수학 컨테이너 "> $ o (t (n) + n)= o (n \ log n n)을 정렬 할 수 있습니다. ) $ , 비교 기반 알고리즘에 대한 정렬에 대한 낮은 바운드를 모순합니다.

다른 한편으로는 요소가 이미 정렬되면 $ o (n) $ 에 빨간색 검은 색 트리를 만들 수 있습니다 : 그냥 재귀 적으로 빌드 균형 잡힌 BST는 마지막 레벨이 불완전한 경우 노드가 빨간색으로 색상을 지정하고 다른 모든 노드가 검은 색을 색칠합니다. 재귀 알고리즘의 시간 복잡성이 재귀 방정식 $ T (n)= 2T (n / 2) + o (1) $ .