VC에서 {A, K까지의 감소 |A는 3DNF (Disjunctive Normal Form)이며 정확히 정확히 k 조항을 만족시킬 과제가 존재합니다.

Question

나는 다음과 같은 질문이 있습니다 :

\ begin {Align} l_2={a, k \ \ mid \ text {a는 3DNF (disjunctive normal form) 및} \\ \ text {할당 $ z $ z $ z $ cluses in} \} \ end {정렬}

$ l_2 \ $ npc.

$ L_2 \ in $ np가 비교적 쉽습니다. 그 부분을 건너 뜁니다.

VC $ \ LEQ_P L_2 $ NPC를 사용하여 $ L_2 \ "수학 컨테이너"> $ L_2 \ SPAN> (VC는 NPC에서 알고있는 정점 덮개)

i 다음 함수 $ f $ :

$$F (G, K)= (A, K) $$

나는 각 노드 $ i $ 에서 $ g $ 을 정의합니다. 리터럴 $ x_i $ , $ a=bigvee (x_i \ wedge x_i \ wedge x_i) $ 여기서 $ 1 \ leq i \ leq n $ 여기서 $ n $ 은 $ g $ 의 노드. $ z $ 이 정확히 $ z $ 을 정의 할 수 있습니다. 컨테이너 "> $ k $ 조항, $ '1'$ 리터럴 $ x_i $ 노드 $ i $ 은 vc 및 $ '0'$ 이므로 이러한 $ z $ 이 존재합니다.

$ (g, k) \ $ \ (a, k)을 쉽게보기 쉽습니다. \ $ k $ 을 정확하게 안전하게지지하는 $ z $ 을 명시 적으로 보여주기 때문에 \ $ 조항.

그러나 다른 측면이 $ (g, k) \ not \ $ vc $ \ l_2 $ \ \ ns not \ \ \ Not \ \ $ k $ 에있는 그래프를주었습니다. ( $ a=bigvee "> $ a=bigvee (x_i \ 웨지 x_i \ 웨지 x_i) $ ) 우리는 $를 찾을 수 있습니다. z $ $ k $ (실제로 우리는 $ z $ 을 찾을 수 있습니다. $ x $ 수학 용기 "> $ 1 \ leq x \ leq n $ 여기서 $ n $ 은 $ g $ 의 노드 수입니다.

내 감소가 없으므로

Answer 1

귀하의 솔루션이 작동하지 않기 때문에 문제가있는 이유는 무엇입니까? 특히 문제는 수식이 VC 문제 명령문을 캡처하지 않는다는 것입니다. 더 정확하게, 빌드하는 수식은 $ k $ 변수를 설정하여 $ k $ k $ 조항을 만족시킵니다. 진실하고 나머지는 거짓으로.

$ g= (v, e) $ 그래프와 $ x \ subeteq v $ $ G $ 의 VC가 되십시오. 그런 다음 $ vw \ \ in $ $ v \ in x $ 또는 x $ 의 $ w \ (본질적으로 $ V \ Vee W $ DNF) :

• $ V \ x $ 그러나 $ w \ notin x $ ,
• $ V \ NOTIN x $ 그러나 $ w \ x $
• x $ 및 x $
의 $ w \

Edge $ VW $ 은 $ x $ 에만 적용됩니다. SPAN 클래스="수학 용기"> $ \ psi (vw)= (v \ wedge w) \ Vee (\ Neg V \ Wedge W) \ Vee (v \ wedge \ neg) $ 은 정확히 하나 있습니다. 만족 한 절 ( $ x $ 에 해당하는 과제)

모든 가장자리에 대한 이러한 공식을 구성하고 분리를 취하고 DNF 공식을 얻습니다. $$ \ psi ^ \ text {vc} (g)= e} \ psi (e)=bigvee_ {vw \ in} (v \ wedge) w) \ Vee (\ Neg v \ wedge w) \ Vee (v \ wedge \ neg w) $$ $ | e | $ 절을 만족하는 임의의 과제는 $ g $ 의 VC 여야합니다. 이제 우리는 귀하의 아이디어를 재사용 할 수있는 모든 VC의 크기를 모두 인코딩하는 방법이 필요합니다. 밝히다 $$ \ psi (g)=psi ^ \ text {vc} (g) \ vee \ bigvee_ {v \ in v} v $$ 그리고 두 번째 부분의 만족도 수의 수는 선택한 정점 집합의 크기로 주어 지므로 일부 VC $ x $ $ g $ 은 $ | e | + | x | $ .

여기에 하나의 문제가 남아 있습니다. 우리는 VC에 해당하지 않고 원하는 VC가 원하는 수많은 수치를 충족시키기 위해 더 많은 정점을 포함하여 할당을 얻을 수 있습니다. 치료법으로, 우리는 일부 수식을 일부 $ | v | + 1 $ 시간을 선택한 정점이 있더라도 만족스러운 절의 총 수는 항상 너무 낮아집니다.

우리는 최종 공식을 얻습니다 $$ \ psi ^ \ AST (G)=bigvee_ {i= 1} ^ {| v | + 1} \ psi ^ \ text {vc} (g) \ vee \ bigvee_ {v \ in V $$ $ G $ 은 VC $ x $ 을 가지고 있습니다. 그런 다음 해당 할당은 정확히 $ (| v | + 1) \ cdot | e | + | x | $ \ psi ^ \ ast (g) $ 의 조항. 역방향의 경우 $ \ alpha $ $ (| v | + 1) \ cdot | E | $ \ psi ^ \ ast (g) $ 의 + k $ 절. 그런 다음 $ \ alpha $ 은 $ \의 첫 번째 부분에서 만족스러운 절수 수를 나타내야합니다. psi ^ \ ast (g) $ 은 대부분의 $ (| v | + 1) \ cdot (| E | - 1)= | \ CDOT | E | + | E | - | v | - 1 $ 및 $ \ alpha $ 은 대부분의 $ | v | $ 절이 두 번째 부분에서, 만족 된 조항의 총 수가 가장 될 것입니다. $$ (| V | + 1) \ CDOT (| E | - 1) + | v |= | V | \ CDOT | E | + | E | - 1 <(| v | + 1) \ cdot | e | $$ 그러나 이것은 첫 번째 부분에서 만족 한 절의 총 수가 정확히 $ (| v | + 1) \ cdot | e | $ 과 정확히 < SPAN 클래스="수학 용기"> $ k $ 두 번째 부분의 절은 $ \ alpha $ 에 의해 만족합니다. 그래서 $ \ alpha $ 은 VC $ x_ \ alpha $ 의 크기 $ k $ $ g $

선명도는 $ 3 $ -DNF 공식을 지정하지 않았습니다. 그러나 $ \ psi ^ \ ast (g) $ 의 모든 조항은 대부분의 $ 2 $ 당신은 jus를 할 수 있습니다

 클로스를 클로스에 필요할 경우 $ 3 $ 에 익숙해 져야합니다.

이것이 이것을하는 가장 좋은 방법이라는 확신하지 못할 것이지만, 그것은 운동을해야합니다.나는 간결성을위한 몇 가지 세부 사항을 생략하고, 무언가가 당신에게 명확하지 않은 경우 추가 설명을 요청할 수 있습니다.)