Determinando a função de massa de probabilidade da variável aleatória

Question

Se tivermos uma variável aleatória discreta x e os dados referentes a ele em x (n), como no Matlab podemos determinar a função de massa de probabilidade PMF (x)?

Answer 1

Você pode fazer isso de pelo menos oito maneiras diferentes (algumas delas já foram mencionadas nas outras soluções).

Digamos que temos uma amostra de uma variável aleatória discreta:

X = randi([-9 9], [100 1]);

Considere essas soluções equivalentes (observe que não assumo nada sobre a gama de valores possíveis, apenas que eles são inteiros):

[V,~,labels] = grp2idx(X);
mx = max(V);

%# TABULATE (internally uses HIST)
t = tabulate(V);
pmf1 = t(:, 3) ./ 100;

%# HIST (internally uses HISTC)
pmf2 = hist(V, mx)' ./ numel(V);                      %#'

%# HISTC
pmf3 = histc(V, 1:mx) ./ numel(V);

%# ACCUMARRAY
pmf4 = accumarray(V, 1) ./ numel(V);

%# SORT/FIND/DIFF
pmf5 = diff( find( [diff([0;sort(V)]) ; 1] ) ) ./ numel(V);

%# SORT/UNIQUE/DIFF
[~,idx] = unique( sort(V) );
pmf6 = diff([0;idx]) ./ numel(V);

%# ARRAYFUN
pmf7 = arrayfun(@(x) sum(V==x), 1:mx)' ./ numel(V);   %#'

%# BSXFUN
pmf8 = sum( bsxfun(@eq, V, 1:mx) )' ./ numel(V);      %#'

Observe que Grp2idx foi usado para obter índices a partir de 1 correspondente às entradas de pmf (O mapeamento é dado por labels). O resultado do exposto é:

>> [labels pmf]
ans =
           -9         0.03
           -8         0.07
           -7         0.04
           -6         0.07
           -5         0.03
           -4         0.06
           -3         0.05
           -2         0.05
           -1         0.06
            0         0.05
            1         0.04
            2         0.07
            3         0.03
            4         0.09
            5         0.08
            6         0.02
            7         0.03
            8         0.08
            9         0.05

Answer 2

O trecho seguinte do Matlab documentação mostra como plotar um histograma. Para uma função de probabilidade discreta, o distribuição de frequência pode ser idêntico ao histograma.

x = -4:0.1:4;
y = randn(10000,1);
n = hist(y,x);
pmf = n/sum(n);
plot(pmf,'o');

Calcule a soma de todos os elementos em cada compartimento. Divida todas as caixas pela soma para obter seu PDF. Teste seu PDF adicionando todos os elementos. O resultado deve ser um.

Espero estar certo com minhas declarações. Já faz muito tempo desde ...

Answer 3

Que tal essa função?

function Y = pmf(X)
A=tabulate(X)
A(:,3)=A(:,3)/100
Y=A(:,3)'

Isso está correto na sua opinião?

Answer 4

Talvez tente fazer apenas uma função, para que você não precise armazenar outra matriz:

pmf = @(x) arrayfun(@(y) nnz(DATA==y)/length(DATA),x);

Answer 5

Para adicionar mais uma opção (como existem várias funções disponíveis para fazer o que quiser), você pode facilmente calcular o PMF usando a função Acumarray Se seus valores discretos são inteiros maiores que 0:

pmf = accumarray(X(:),1)./numel(X);

Aqui está um exemplo:

>> X = [1 1 1 1 2 2 2 3 3 4];          %# A sample distribution of values
>> pmf = accumarray(X(:),1)./numel(X)  %# Compute the probability mass function

pmf =

    0.4000      %# 1 occurs 40% of the time
    0.3000      %# 2 occurs 30% of the time
    0.2000      %# 3 occurs 20% of the time
    0.1000      %# 4 occurs 10% of the time

Answer 6

Se eu entendi corretamente o que você precisa fazer é estimar o PDF, exceto que não é valores contínuos, mas discretos.

Calcule as ocorrências de valores diferentes em x (n) e divida por n. Para ilustrar o que estou dizendo, permita -me dar um exemplo. Suponha que você tenha 10 observações:

X = [1 1 2 3 1 9 12 3 1 2]

Então seu PMF ficaria assim:

pmf(X) = [0.4 0.2 0.2 0 0 0 0 0 0.1 0 0 0.1]

editar: Este é em princípio um histograma de frequência, como @zellus também apontou