Головоломка:Найти наибольший прямоугольник (задача о максимальном прямоугольнике)
-
08-06-2019 - |
Вопрос
Какой наиболее эффективный алгоритм поиска прямоугольника с наибольшей площадью, который поместится в пустое пространство?
Допустим, экран выглядит следующим образом ('#' представляет заполненную область).:
....................
..............######
##..................
.................###
.................###
#####...............
#####...............
#####...............
Вероятным решением является:
....................
..............######
##...++++++++++++...
.....++++++++++++###
.....++++++++++++###
#####++++++++++++...
#####++++++++++++...
#####++++++++++++...
Обычно я бы с удовольствием нашел решение.Хотя на этот раз я бы хотел не тратить время на самостоятельную возню, поскольку это имеет практическое применение для проекта, над которым я работаю.Есть ли хорошо известное решение?
Сег9 написал:
Является ли ваш ввод массивом (как подразумевается в других ответах) или списком перекрытий в виде прямоугольников произвольного размера с произвольным расположением (как это может быть в оконной системе при работе с позициями окон)?
Да, у меня есть структура, которая отслеживает набор окон, размещенных на экране.У меня также есть сетка, которая отслеживает все области между каждым краем, независимо от того, являются ли они пустыми или заполненными, и положение пикселя их левого или верхнего края.Я думаю, что есть какая-то модифицированная форма, которая использовала бы это свойство.Вы знаете о чем-нибудь таком?
Решение 2
@lassevk
Я нашел статью, на которую ссылается DDJ: Задача о Максимальном прямоугольнике
Другие советы
Я автор этой книги, докторСтатья Добба, и меня время от времени спрашивают о реализации.Вот простой вариант на C:
#include <assert.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct {
int one;
int two;
} Pair;
Pair best_ll = { 0, 0 };
Pair best_ur = { -1, -1 };
int best_area = 0;
int *c; /* Cache */
Pair *s; /* Stack */
int top = 0; /* Top of stack */
void push(int a, int b) {
s[top].one = a;
s[top].two = b;
++top;
}
void pop(int *a, int *b) {
--top;
*a = s[top].one;
*b = s[top].two;
}
int M, N; /* Dimension of input; M is length of a row. */
void update_cache() {
int m;
char b;
for (m = 0; m!=M; ++m) {
scanf(" %c", &b);
fprintf(stderr, " %c", b);
if (b=='0') {
c[m] = 0;
} else { ++c[m]; }
}
fprintf(stderr, "\n");
}
int main() {
int m, n;
scanf("%d %d", &M, &N);
fprintf(stderr, "Reading %dx%d array (1 row == %d elements)\n", M, N, M);
c = (int*)malloc((M+1)*sizeof(int));
s = (Pair*)malloc((M+1)*sizeof(Pair));
for (m = 0; m!=M+1; ++m) { c[m] = s[m].one = s[m].two = 0; }
/* Main algorithm: */
for (n = 0; n!=N; ++n) {
int open_width = 0;
update_cache();
for (m = 0; m!=M+1; ++m) {
if (c[m]>open_width) { /* Open new rectangle? */
push(m, open_width);
open_width = c[m];
} else /* "else" optional here */
if (c[m]<open_width) { /* Close rectangle(s)? */
int m0, w0, area;
do {
pop(&m0, &w0);
area = open_width*(m-m0);
if (area>best_area) {
best_area = area;
best_ll.one = m0; best_ll.two = n;
best_ur.one = m-1; best_ur.two = n-open_width+1;
}
open_width = w0;
} while (c[m]<open_width);
open_width = c[m];
if (open_width!=0) {
push(m0, w0);
}
}
}
}
fprintf(stderr, "The maximal rectangle has area %d.\n", best_area);
fprintf(stderr, "Location: [col=%d, row=%d] to [col=%d, row=%d]\n",
best_ll.one+1, best_ll.two+1, best_ur.one+1, best_ur.two+1);
return 0;
}
Он принимает входные данные с консоли.Вы могли бы, например,передайте ему этот файл:
16 12
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 1 * * * * * * 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 * * * * * * 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
И после печати своих входных данных он выведет:
The maximal rectangle has area 12.
Location: [col=7, row=6] to [col=12, row=5]
В приведенной выше реализации, конечно, нет ничего особенного, но она очень близка к объяснению в Dr.Статья Добба и должна быть легко переведена на любой необходимый язык.
Вот страница, на которой есть некоторый код и некоторый анализ.
Ваша конкретная проблема начинается немного ниже по странице, выполните поиск текста на странице задача о максимальном прямоугольнике.
http://www.seas.gwu.edu /~simhaweb/cs151/lectures/module6/module6.html
@lassevk
// 4. Outer double-for-loop to consider all possible positions
// for topleft corner.
for (int i=0; i < M; i++) {
for (int j=0; j < N; j++) {
// 2.1 With (i,j) as topleft, consider all possible bottom-right corners.
for (int a=i; a < M; a++) {
for (int b=j; b < N; b++) {
ХА-ХА...O (м2 n2)..Вероятно, это то, что я бы придумал.
Я вижу, что они продолжают развивать оптимизацию...выглядит неплохо, я почитаю.
Я реализовал решение Доббса на Java.
Никаких гарантий ни на что.
package com.test;
import java.util.Stack;
public class Test {
public static void main(String[] args) {
boolean[][] test2 = new boolean[][] { new boolean[] { false, true, true, false },
new boolean[] { false, true, true, false }, new boolean[] { false, true, true, false },
new boolean[] { false, true, false, false } };
solution(test2);
}
private static class Point {
public Point(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
public int x;
public int y;
}
public static int[] updateCache(int[] cache, boolean[] matrixRow, int MaxX) {
for (int m = 0; m < MaxX; m++) {
if (!matrixRow[m]) {
cache[m] = 0;
} else {
cache[m]++;
}
}
return cache;
}
public static void solution(boolean[][] matrix) {
Point best_ll = new Point(0, 0);
Point best_ur = new Point(-1, -1);
int best_area = 0;
final int MaxX = matrix[0].length;
final int MaxY = matrix.length;
Stack<Point> stack = new Stack<Point>();
int[] cache = new int[MaxX + 1];
for (int m = 0; m != MaxX + 1; m++) {
cache[m] = 0;
}
for (int n = 0; n != MaxY; n++) {
int openWidth = 0;
cache = updateCache(cache, matrix[n], MaxX);
for (int m = 0; m != MaxX + 1; m++) {
if (cache[m] > openWidth) {
stack.push(new Point(m, openWidth));
openWidth = cache[m];
} else if (cache[m] < openWidth) {
int area;
Point p;
do {
p = stack.pop();
area = openWidth * (m - p.x);
if (area > best_area) {
best_area = area;
best_ll.x = p.x;
best_ll.y = n;
best_ur.x = m - 1;
best_ur.y = n - openWidth + 1;
}
openWidth = p.y;
} while (cache[m] < openWidth);
openWidth = cache[m];
if (openWidth != 0) {
stack.push(p);
}
}
}
}
System.out.printf("The maximal rectangle has area %d.\n", best_area);
System.out.printf("Location: [col=%d, row=%d] to [col=%d, row=%d]\n", best_ll.x + 1, best_ll.y + 1,
best_ur.x + 1, best_ur.y + 1);
}
}
После стольких усилий я написал этот алгоритм...Просто посмотрите код...
Вы понимаете это.Этот код говорит сам за себя!!
import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;
/**
* Created by BK on 05-08-2017.
*/
public class LargestRectangleUnderHistogram {
public static void main(String... args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] input = new int[n];
for (int j = 0; j < n; j++) {
input[j] = scanner.nextInt();
}
/*
* This is the procedure used for solving :
*
* Travel from first element to last element of the array
*
* If stack is empty add current element to stack
*
* If stack is not empty check for the top element of stack if
* it is smaller than the current element push into stack
*
* If it is larger than the current element pop the stack until we get an
* element smaller than the current element or until stack becomes empty
*
* After popping each element check if the stack is empty or not..
*
* If stack is empty it means that this is the smallest element encountered till now
*
* So we can multiply i with this element to get a big rectangle which is contributed by
*
* this
*
* If stack is not empty then check for individual areas(Not just one bar individual area means largest rectangle by this) (i-top)*input[top]
*
*
* */
/*
* Initializing the maxarea as we check each area with maxarea
*/
int maxarea = -1;
int i = 0;
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
for (i = 0; i < input.length; i++) {
/*
* Pushing the element if stack is empty
* */
if (stack.isEmpty()) {
stack.push(i);
} else {
/*
* If stack top element is less than current element push
* */
if (input[stack.peek()] < input[i]) {
stack.push(i);
} else {
/*
* Else pop until we encounter an element smaller than this in stack or stack becomes empty
*
* */
while (!stack.isEmpty() && input[stack.peek()] > input[i]) {
int top = stack.pop();
/*
* If stack is empty means this is the smallest element encountered so far
*
* So we can multiply this with i
* */
if (stack.isEmpty()) {
maxarea = maxarea < (input[top] * i) ? (input[top] * i) : maxarea;
}
/*
* If stack is not empty we find areas of each individual rectangle
* Remember we are in while loop
*/
else {
maxarea = maxarea < (input[top] * (i - top)) ? (input[top] * (i - top)) : maxarea;
}
}
/*
* Finally pushing the current element to stack
* */
stack.push(i);
}
}
}
/*
* This is for checking if stack is not empty after looping the last element of input
*
* This happens if input is like this 4 5 6 1 2 3 4 5
*
* Here 2 3 4 5 remains in stack as they are always increasing and we never got
*
* a chance to pop them from stack by above process
*
* */
while (!stack.isEmpty()) {
int top = stack.pop();
maxarea = maxarea < (i - top) * input[top] ? (i - top) * input[top] : maxarea;
}
System.out.println(maxarea);
}
}
Я являюсь автором книги Максимальное Прямоугольное решение на LeetCode, на котором основан этот ответ.
Поскольку решение на основе стека уже обсуждалось в других ответах, я хотел бы представить оптимальный O(NM)
динамическое программное решение, исходящее от пользователя морришен2008.
Интуиция
Представьте себе алгоритм, в котором для каждой точки мы вычислили прямоугольник, выполнив следующее:
Нахождение максимальной высоты прямоугольника путем повторения вверх до тех пор, пока не будет достигнута заполненная область
Нахождение максимальной ширины прямоугольника путем итерации наружу влево и вправо до тех пор, пока высота не достигнет максимальной высоты прямоугольника
Например, поиск прямоугольника, определенного желтой точкой:
Мы знаем, что максимальный прямоугольник должен быть одним из прямоугольников, построенных таким образом (максимальный прямоугольник должен иметь точку в своем основании, где находится следующий заполненный квадрат высота выше этой точки).
Для каждой точки мы определяем некоторые переменные:
h
- высота прямоугольника , определяемая этой точкой
l
- левая граница прямоугольника, определяемого этой точкой
r
- правая граница прямоугольника, определяемого этой точкой
Эти три переменные однозначно определяют прямоугольник в этой точке.Мы можем вычислить площадь этого прямоугольника с помощью h * (r - l)
.Глобальный максимум во всех этих областях - наш результат.
Используя динамическое программирование, мы можем использовать h
, l
, и r
каждой точки в предыдущей строке для вычисления h
, l
, и r
для каждой точки в следующем ряду за линейное время.
Алгоритм
Заданная строка matrix[i]
, мы отслеживаем h
, l
, и r
каждой точки в строке путем определения трех массивов - height
, left
, и right
.
height[j]
будет соответствовать высоте matrix[i][j]
, и так далее, и тому подобное с другими массивами.
Теперь возникает вопрос, как обновить каждый массив.
height
h
определяется как количество непрерывных незаполненных пробелов в строке от нашей точки.Мы увеличиваем значение, если есть новый пробел, и устанавливаем его равным нулю, если пробел заполнен (мы используем '1' для обозначения пустого пробела и '0' в качестве заполненного).
new_height[j] = old_height[j] + 1 if row[j] == '1' else 0
left
:
Рассмотрим, что вызывает изменения левой границы нашего прямоугольника.Поскольку все экземпляры заполненных пробелов, встречающиеся в строке над текущей, уже были учтены в текущей версии left
, единственное , что влияет на нашу left
это если мы столкнемся с заполненным пробелом в нашей текущей строке.
В результате мы можем определить:
new_left[j] = max(old_left[j], cur_left)
cur_left
это на единицу больше, чем самое правое заполненное пространство, с которым мы сталкивались.Когда мы "расширяем" прямоугольник влево, мы знаем, что он не может расширяться дальше этой точки, иначе он упрется в заполненное пространство.
right
:
Здесь мы можем повторно использовать наши рассуждения в left
и определить:
new_right[j] = min(old_right[j], cur_right)
cur_right
это крайнее левое вхождение заполненного пространства, с которым мы столкнулись.
Реализация
def maximalRectangle(matrix):
if not matrix: return 0
m = len(matrix)
n = len(matrix[0])
left = [0] * n # initialize left as the leftmost boundary possible
right = [n] * n # initialize right as the rightmost boundary possible
height = [0] * n
maxarea = 0
for i in range(m):
cur_left, cur_right = 0, n
# update height
for j in range(n):
if matrix[i][j] == '1': height[j] += 1
else: height[j] = 0
# update left
for j in range(n):
if matrix[i][j] == '1': left[j] = max(left[j], cur_left)
else:
left[j] = 0
cur_left = j + 1
# update right
for j in range(n-1, -1, -1):
if matrix[i][j] == '1': right[j] = min(right[j], cur_right)
else:
right[j] = n
cur_right = j
# update the area
for j in range(n):
maxarea = max(maxarea, height[j] * (right[j] - left[j]))
return maxarea