Выражение функций с использованием арифметического словаря

Question

Я видел в классе «Логика к CS», которую я принимаю - теорема, в которой говорится: «Каждая рекурсивная (вычислимая) функция $ F $ может быть выраженаАрифметический словарь { $ C_0, C_1, f _ + (,), f_x (,), r_ \ le (,) $ } со структурой { $ d=mathbb {n}, c_0= 0, c_1= 1, f _ + (a, b)= a + b, f_x (a, b)= ab, r_ \ le (a,б)= a \ le b $ } "

Но мы не доказали эту теорему, потому что часть студентов не вышла в курс «вычислительных моделей» (хотя я его взял)

Где я могу найти доказательство для этой теоремы?Заранее спасибо!

Answer 1

Я не уверен, что это именно то, что вы ищете, но вы можете найти то, что вы хотите в теореме 3.2.1 из теории вычислимости от S. Barry Cooper:

Все рекурсивные функции представлены в PA.

Это для любой рекурсивной функции $ F $ , существует двоичный предикат $ F $ In Язык арифметики такой, что для любого натуральных чисел $ x $ и $ y $ У нас есть $$ f (x)= y ~ \ prightarrow ~ \ vdash_ {pa} f (x, y) $$ а также $$ f (x) \ neq ~ \ prightarrow ~ \ vdash_ {pa} \ lnot f (x, y) $$ где $ \ vdash_ {pa} $ означает «PA доказывает».

Эта теорема - Центральная к известной теореме Gödel Theoremems , чтобы вы могли бы также захотеть взглянуть на CH. 8 из упомянутой книги, где она обсуждается, и это понятие «представительство» распространяется на «полустабильность», чтобы включить C.E. наборы также.