Почему среднее демпфирование волшебно ускоряет сходимость калькуляторов с фиксированной точкой?

Question

Я читаю через SICP, а авторы кистите технику среднего демпфирования в вычислениях фиксированных точек функций. Я понимаю, что в некоторых случаях необходимо в некоторых случаях, то есть квадратные корни, чтобы затушить колебание функции y = x/y Тем не менее, я не понимаю, почему это волшебным образом помогает сходимостью функции расчета фиксированной точки. Помощь?

редактировать

Очевидно, я немного подумал это. Кажется, я не могу обернуть голову, зачем усреднение функции с самой собой ускорилась бы сходимость при нанесении неоднократно.

Answer 1

Он только ускоряет эти функции, повторные приложения которых «прыгают вокруг». Интуитивно, это похоже на добавление тормоза в маятник - он будет рано с тормозом.

Но не каждая функция имеет это свойство. Рассмотреть возможность f(x)=x/2. Отказ Эта функция раньше будет сходиться без среднего демпфирования (база журнала 2 шага против базы журнала (4/3)), поскольку он приближается к фиксированию с одной стороны.

Answer 2

Хотя я не могу ответить на ваш вопрос на математической основе, я попробую на интуитивно понятную: методы FixPoint нуждаются в «плоском» функциональном графе вокруг их .. .. Fixpoint. Это означает: если вы рисуете свою функцию FIXPOINT на диаграмме XY, вы увидите, что функция пересекает диагональ (+ X, + Y) точно при истинном результате. На одном этапе своего алгоритма FixPoint вы угадаете значение x, которое необходимо в пределах интервала вокруг точки пересечения, где первая производная находится между (-1. + 1) и принимает значение y. Y, что вы взяли, будет ближе к точке пересечения, потому что Начиная с пересечения дозависимо, следуя пути, который имеет меньший наклон, чем +/- 1 В отличие от предыдущего значения X, который вы использовали, которое вы имеете в этом смысле, точный уклон -1. Теперь сразу понятно, что чем меньше наклон, тем больше, чем вы делаете к точке пересечения (значение истинного функциональности) при использовании y как новый X. Лучшая функция интерполяции имеет тривиально константу, которая имеет уклон 0, давая вам Истинное значение на первом шаге.

Извините всем математикам.