هل هناك خوارزمية فعالة لتحديد الاحتمالية عددا صحيحا تم اختياره عشوائيا غير قابل للقسمة من قبل أي عدد صحيح من بعض المجموعة؟
-
29-09-2020 - |
سؤال
إعطاء مجموعة من 10 أعداد صحيحة $ a= a_1، a_1، a_2، cdots a_ {10} $ ، هل هناك خوارزمية فعالة يمكن أن تخبرني بما هو الاحتمالعدد صحيح تم اختياره عشوائيا بين $ 1 $ and 10 دولارات ^ {10} $ هو غير قابل للقسمة من قبل أي عضو في هذه المجموعة.
أفهم أن مبدأ الاستبعاد للإدماج يمكن استخدامه لحل هذه المشكلة ولكن لا يمكنني معرفة كيفية تطبيقه بحيث يعمل بكفاءة.
المحلول
دع $ \ mathbf x $ يكون رقم عشوائي في النطاق $ 1، \ Ldots، n $ ، ودع $ e_i $ تشير إلى الحدث الذي $ \ mathbf x $ قابل للقسمة بواسطة $ A_I $ . أنت مهتم باحتمال عدم وجود أي من الأحداث $ e_1، \ Ldots، E_M $ يحدث (في قضيتك، $ م= 10 دولار ). باستخدام مبدأ الاستبعاد الإدراج، هذا يقلل من حساب احتمالية أحميات الأحداث في النموذج $ e_ {i_1} \ land \ cdots \ land {i_k} $ ، هذا هو، $ \ mathbf x $ قابل للقسمة بواسطة جميع $ a_ {i_1}، \ Ldots، a_ {i_k} $ . منذ $ \ mathbf x $ قابل للقسمة بواسطة مجموعة من الأرقام IFF فهي قابلة للقسمة من قبل LCM، تكفي لتحديد الاحتمالية التي $ \ mathbf x $ قابلة للقسمة بواسطة $ $ .
بين $ 1، \ Ldots، N $ ، والأرقام القابلة للقسمة حسب $ $ $ هي $$ A، 2A، 3A، \ Ldots، \ lloroor n / a \ rfloor a، $ في المجموع $ \ lfloor n / a \ rfloor $ الأرقام. ومن هنا هو احتمال أن $ \ mathbf x $ قابلة للقسمة بواسطة $ $ هو بالضبط $$ \ frac {\ lloor n / a \ rfloor} {n}.