ما هو التدوين Big- $ O $ لتلخيص سجل؟

Question

للحصول على: $$ \ sum ^ {n + m} _ {i= n} \ log (i) $ أنا أتساءل ما هي تدوين كبير o وكيفية إثبات ذلك ... أعتقد أنه يمكننا أيضا كتابة هذا $$ \ log (n) + \ log (n + 1) + \ log (n + 2) + \ ldots + \ log (n + m) $

أيضا $$ \ log (n + m)! / \ log (n-1)! $

شكرا

Answer 1

أذكر أن مجموع $ \ log $ أي ما يعادل $ \ log $ من المنتجات.

هذا هو:

$$ \ LOG (XY)=LOG X + \ LOG Y $

وبالتالي يمكننا تغيير وظيفتك:

$$ \ ابدأ {محاذاة} \ sum_ {i= n} ^ {n + m} \ log i &= log \ prod_ {i= n} ^ {n + m} i \\ &=Log (n \ cdot (n + 1) \ cdot (n + 2) \ cdot \ ledots \ adot \ cdot (m-1) \ cdot m) \\ &=Log (م! \ / \ \ (N-1)!) \\ \ نهاية {محاذاة}

ثم يمكننا استخدام قاعدة التقسيم بشكل مشابه للحصول على هذه التراجع:

$$ \ سجل (م! \ / \ \ (N-1)!)=Log (M!) - \ Log ((N-1)!)

ثم استخدام تقريب ستيرلينغ يمكننا أن نرى على الفور:

$$ \ سجل (م!) - \ Log ((N-1)!)= O (M \ Log M)

قد تكون قادرا على القيام بعمل أفضل من خلال اتخاذ حدود أكثر دقة للحصول على:

$$ \ ابدأ {محاذاة} \ سجل (م!) - \ Log ((n-1)!) & \ leq em ^ {m + \ frac {1} {}} {- m} - \ sqrt {2 \ pi} (n -1) ^ {n- \ frac {1} {2}} e ^ {1-n} \\ &=VDOTS \ نهاية {محاذاة}

Answer 2

o ((m +1) log (n + m)).من الواضح أنه حد أعلى.ولكن أيضا معظم القيم لديها لوغاريتم بالقرب من الحد الأقصى، لذلك هو أيضا حد أدنى جيد.

في حالتك البسيطة بشكل خاص، ستمنحك صيغة Stirling نتيجة أفضل، لكن طلبت Big-o فقط.