خوارزمية البث لحساب مثلثات في الرسم البياني

Question

كما هو موضح في المرجع، يفترض الخوارزمية (انظر في الأسفل) إخراج مقدر $ \ hat t $ for # من مثلثات الرسم البياني المعطى $ g= (v، e) $ ، المعلبة $ t $ . هو مكتوب أن "يمكن عرضه بسهولة" ذلك $$ ه [\ hat t]= t $ ولكن لسوء الحظ، أنا لا أرى ذلك. محاولة تحليل $ e [\ hat t] $ ، أعتقد كما يلي:

• في السطر 1، تدل على احتمال اختيار حافة (وموحد بشكل موحد) حافة هي جزء من مثلث مثل $ P $ . لأن مثلثات يمكن مشاركة الحواف، $$ \ FRAC T M \ LE P \ LE \ FRAC {3T} م $ على سبيل المثال، النظر في الحالة التالية:

  

  لا تضيف المثلث المركزي حواف جديدة إلى # إمكانيات لاختيار حافة وهي جزء من مثلث. يمكنك تخيل تكوين مختلف، حيث يوجد فقط المثلثات الخارجية الثلاثة فقط ولا يلمس بعضهم البعض (في هذا التكوين، لن نرى المثلث الرابع المركزي). في كلتا الحالتين ((القضية 1) 4 مثلثات كما شوهد في الصورة؛ (Case II) 3 مثلثات فكين)، احتمال اختيار حافة وهي جزء من مثلث هو 1 (على الرغم من أن # مثلثات مختلفة). < / ص>

• at line 2، احتمال اختيارها بشكل موحد في Random A Vertex الذي "يغلق مثلث" مع الحافة من الخطوة السابقة هو بالضبط $ \ frac 1 {n -2} $ .

لذلك أرى ذلك فقط

$$ T \ le e [\ hat t] \ le 3t

ما أنا في عداد المفقودين؟

---

سؤال آخر لدي فيما يتعلق بالسطر 3. يتم طلب الدفق، ونحن نختار أولا حافة عشوائية $ (u، v) $ (السطر 1)، ثم قمة عشوائية $ W $ من $ v \ backslash \ {u، v \} $ 2). أشعر أن التحليل يجب أن يأخذ في الاعتبار أنه عند السطر 3 نتحقق من $ (u، w) $ و $ ( V، W) $ تظهر بعد $ (u، v) $ في الدفق. ربما بعد أن أفهم الإجابة على سؤالي الأول، سيكون أكثر وضوحا.

---

الخوارزمية:

1. اختيار حافة $ (u، v) $ بشكل موحد عشوائيا من الدفق.
2. اختيار قمة الرأس $ W $ بشكل موحد عشوائي من $ v \ backslash \ {u، v \} $ < / span>
3. إذا $ (u، w) $ و $ (v، w) $ تظهر بعد < Span Class="حاوية الرياضيات"> $ (u، v) $ في الدفق، ثم الإخراج $ m (n-2) $ . آخر، الإخراج $ 0 $ .

أيضا، على الرغم من أنني لم أكن كتبها مكتوبة، أعتقد أن هناك افتراضا أن $ v $ معروف.

---

مرجع: تيارات البيانات ملاحظات محاضرة عن طريق البروفيسور أميت chakrabarti، قسم "15.3 مثلث العد"، https://www.cs.dartmouth.edu/~ac/teach/data-streams-lecnotes.pdf

---

مع أطيب التحيات

Answer 1

دع $ (u، v، w) $ يكون مثلث معين في الدفق، ونفترض أن الحافة $ (U، V) $ يظهر أولا. الاحتمال الذي اخترناه $ (u، v) $ في الخطوة الأولى هي $ 1 / m $ $ W $ في الخطوة الثانية هو $ 1/2) $ . ومن هنا فإن احتمال اخترنا مثلث $ (u، v، w) $ هو $ 1 / [m (n-2 )] $ . دعنا نشير هذا الحدث حسب $ e_ {u، v، w} $ .

إذا $ (u_1، v_1، w_1) $ و $ (u_2، v_2، w_2) $ هما مثلثان مختلفان أن الأحداث $ e_ {u_1، v_1، w_1} $ and $ e_ {u_2، v_2، W_2} $ هي مفككة (لاحظ أن مثلثات لا يجب أن تكون مفككة). لذلك إذا كانت هناك $ T $ مثلثات، ثم احتمال أننا اخترنا واحد منهم هو بالضبط $ t / [m ( N-2)] $ . لذلك الإنتاج المتوقع للخوارزمية هو بالضبط $ T $ .