كيف تفعل منحنى الأسي ولوغاريتمي مناسب في بيثون؟ لقد وجدت فقط التركيب متعدد الحدود

Question

لديّ مجموعة من البيانات وأريد مقارنة الخط الذي يصفه بشكل أفضل (كثير الحدود لأوامر مختلفة ، أو الأسية أو اللوغاريتمية).

أستخدم Python و Numpy وللتوفيق متعدد الحدود ، هناك وظيفة polyfit(). لكنني لم أجد مثل هذه الوظائف للتركيب الأسي واللوغاريتمي.

هل يوجد أي؟ أو كيفية حلها خلاف ذلك؟

Answer 1

للتركيب ذ = أ + ب سجل x, ، فقط صالح ذ ضد (سجل x).

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

---

للتركيب ذ = Ae^BX, ، خذ اللوغاريتم على كلا الجانبين يعطي السجل ذ = سجل أ + BX. لائقة (سجل ذ) ضد x.

لاحظ هذا مناسب (سجل ذ) كما لو كان خطيًا ، سوف يؤكد القيم الصغيرة من ذ, ، مما تسبب في انحراف كبير للكبير ذ. هذا بسبب polyfit (الانحدار الخطي) يعمل عن طريق تقليل ∑_أنا (Δذ)² = ∑_أنا (ذ_أنا − Ŷ_أنا)². متى ذ_أنا = سجل ذ_أنا, ، بقايا Δذ_أنا = Δ (سجل ذ_أنا) ≈ Δذ_أنا / |ذ_أنا| لذلك حتى لو polyfit يتخذ قرارًا سيئًا للغاية للكبير ذ, ، "قسمة-|ذ| "العامل سوف يعوض عن ذلك ، مما يسبب polyfit تفضل القيم الصغيرة.

يمكن تخفيف هذا من خلال إعطاء كل إدخال "وزن" يتناسب مع ذ. polyfit يدعم مربعات المربعات ذات المرجح عبر w حجة الكلمة الرئيسية.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

لاحظ أن Excel و Libreoffice ومعظم الآلات الحاسبة العلمية تستخدم عادة الصيغة غير المرغوب فيها (منحازة) لخطوط الانحدار / الاتجاه الأسي. إذا كنت تريد أن تكون نتائجك متوافقة مع هذه المنصات ، فلا تتضمن الأوزان حتى لو كانت توفر نتائج أفضل.

---

الآن ، إذا كنت تستطيع استخدام Scipy ، فيمكنك استخدامها scipy.optimize.curve_fit لتناسب أي نموذج دون تحولات.

ل ذ = أ + ب سجل x والنتيجة هي نفس طريقة التحول:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

ل ذ = Ae^BX, ، ومع ذلك ، يمكننا الحصول على ملاءمة أفضل لأنه يحسب Δ (سجل ذ) مباشرة. لكننا بحاجة إلى توفير تخمين تهيئة curve_fit يمكن أن تصل إلى الحد الأدنى المحلي المطلوب.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

Answer 2

يمكنك أيضًا وضع مجموعة من البيانات على أي وظيفة تريد استخدامها curve_fit من عند scipy.optimize. على سبيل المثال ، إذا كنت ترغب في وضع وظيفة أسي (من توثيق):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

ثم إذا كنت ترغب في رسم ، فيمكنك القيام بذلك:

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

(لاحظ ال * فى مواجهة popt عندما تتآمر ، ستوسع المصطلحات إلى a, b, ، و c الذي - التي func يتوقع.)

Answer 3

كنت أواجه بعض المشاكل مع هذا ، لذا اسمحوا لي أن أكون صريحًا جدًا حتى لا يفهم noobs مثلي.

دعنا نقول أن لدينا ملف بيانات أو شيء من هذا القبيل

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

والنتيجة هي: A = 0.849195983017 ، B = -1.18101681765 ، C = 2.24061176543 ، D = 0.816643894816

Answer 4

حسنًا ، أعتقد أنه يمكنك دائمًا استخدام:

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

---

تعديل قليلا إجابة IANVS:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

ينتج عن هذا الرسم البياني التالي: