دوران مصفوفة أن يقلل المسافة

Question

دعونا نقول لدي نقطتين في الفضاء 3D (أ و ب) و محور ثابت/وحدة ناقلات يسمى n.

أريد إنشاء دوران مصفوفة أن يقلل من euclidan المسافة بين النقطة a (لم تتم استدارته) و استدارة النقطة باء.

E. g:

 Q := matrix_from_axis_and_angle (n, alpha);

 find the unknown alpha that minimizes sqrt(|a - b*Q|)

راجع للشغل - إذا حل/خوارزمية يمكن أن يكون أسهل أعرب مع وحدة quaternions والمضي قدما في استخدام لهم.أنا فقط استخدام المصفوفات صياغة سؤالي لأنهم أكثر على نطاق واسع.

---

نعم أعرف أن هناك بعض تدهورت حالة ( a أو b الكذب بالضبط تمشيا مع ن إلخ.) هذه يمكن تجاهلها.أنا فقط أبحث عن الحالة التي يكون فيها حل واحد يمكن حسابها.

Answer 1

ويبدو من السهل إلى حد ما. نفترض متجه وحدة ن يعني الدوران حول خط مواز لن خلال X0 نقطة. إذا X0! = الأصل، ترجمة نظام الإحداثيات التي كتبها -x0 للحصول على نقاط a' وb' مقارنة جديدة تنسيق أصل النظام 0، واستخدام تلك النقاط 2 بدلا من أ و ب.

1) حساب ناقلات راي = ن س ل

2) وحدة حساب ناقلات UY = وحدة متجه في اتجاه وراي

و3) حساب وحدة مكافحة ناقلات UX = UY س ن

لديك الآن الثلاثي ناقلات حدة المتعامدة UX، أوي، ون، والتي تشكل نظام اليد اليمنى تنسيق. ويمكن أن تظهر ما يلي:

 a = dot(a,n) * n  +  dot(a,ux) * ux

وذلك لأن وحدة مكافحة ناقلات UY موازية للراي الذي هو عمودي على حد سواء ون. (من الخطوة 1)

و4) حساب مكونات ب طول متجهات الوحدة UX، UY. وفي المكونات (الفأس، 0) حيث الفأس = نقطة (أ، UX). مكونات ب هي (BX، من قبل) حيث ب س = نقطة (ب، UX)، التي كتبها = نقطة (ب، UY). بسبب نظام يمنى تنسيق والفأس إيجابية دائما حتى انك لا تحتاج بالفعل لحساب ذلك.

و5) حساب ثيتا = ATAN2 (من قبل، ب س).

وتناوب مصفوفة الخاص بك هو واحد والتي تدور من زاوية -theta النسبي إلى نظام الإحداثيات (UX، أوي، ن) حول المحور ن.

وهذا ينتج إجابات منحطة إذا كان هو مواز لن (الخطوات 1 و 2)، أو إذا ب موازية إلى n (الخطوات 4 و 5).

Answer 2

أعتقد أنك يمكن أن أعيد صياغة السؤال إلى:

ما هي المسافة من نقطة إلى 2d دائرة في الفضاء 3d.

يمكن العثور على الجواب هنا

وبالتالي فإن الخطوات المطلوبة هي على النحو التالي:

• تناوب نقطة ب حول ناقلات n يعطيك 2d دائرة في الفضاء 3d
• باستخدام أعلاه ، إيجاد المسافة إلى هذه الدائرة (و نقطة على الدائرة)
• نقطة على الدائرة هو استدارة النقطة b كنت تبحث عن.
• نستنتج استدارة زاوية

...أو شيء؛^)

Answer 3

وسوف يكون الحد الأدنى المسافة عندما متجه من على خط طول خطوط ن مع متجه من ب إلى خط طول ن.

ومشروع أ و ب في طائرة عمودية إلى n وحل المشكلة في 2 أبعاد. دوران تحصل هناك دوران تحتاج إلى تقليل المسافة.

Answer 4

واسمحوا P تكون الطائرة التي هو عمودي على ن. يمكننا العثور على إسقاط لفي P-الطائرة، (وعلى نحو مماثل لب):

a' = a - (dot(a,n)) n 
b' = b - (dot(b,n)) n 

وحيث النقطة (أ، ن) هي دوت نتاج و n

وعلى "وب" الكذب في P-الطائرة.

لقد خفضت الآن المشكلة إلى 2 الأبعاد. ياي!

وزاوية (الدوران) بين 'ب' تساوي زاوية (الدوران) اللازمة للتأرجح ب حول محور ن بحيث تكون أقرب إلى. (فكر الظلال سيكون ب يلقي على P-الطائرة).

والزاوية بين 'ب' من السهل العثور على:

dot(a',b') = |a'| * |b'| * cos(theta)

وحل لثيتا.

والآن يمكنك العثور على مصفوفة دوران نظرا ثيتا و n هنا: http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

وجيسون S يشير بحق إلى أن بمجرد أن تعرف ثيتا، يجب أن تزال تقرر تدوير ب عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة حول محور ن.

والكمية، نقطة ((أ س ب)، ن)، وسوف تكون كمية إيجابية إذا (أ س ب) تقع في نفس اتجاه ن، والسلبية إذا (أ س ب) تكمن في الاتجاه المعاكس. (انها ليست ابدا الصفر طالما لا أحد ولا ب هو خط واحد مع ن.)

إذا (أ س ب) تكمن في نفس اتجاه ن، ثم ب يجب أن تكون استدارة في اتجاه عقارب الساعة من قبل ثيتا زاوية حول محور ن.

إذا (أ س ب) تكمن في الاتجاه المعاكس، ثم ب يجب أن تكون استدارة في اتجاه عقارب الساعة من زاوية -theta حول محور ن.