常规语言中可能有哪些单词长度？

Question

给定一种语言$ l $，将$ l $的长度集定义为$ l $：$$ mathrm {ls}（l）（l）= {| u | 中u in l } $$

哪一组整数可以是常规语言的长度集？

Answer 1

首先，观察到不是关键但方便的观察：集合 $ MATHSCR {S} $ 一组整数 $ ls（l）$ 对于某种常规语言 $ L $ 在非空字母上 $ mathscr {a} $ 不取决于字母的选择。要看到这一点，请考虑一个有限的自动机识别 $ L $;中的单词的长度 $ L $ 是从开始状态到任何接受状态的自动机上路径的长度。特别是，您可以将每个箭头重新标记为 $ a $ 并获得与字母相同长度相同长度的常规语言 $ {a } $. 。相反，如果 $ L $ 是一种在单元素字母上的常规语言，可以将其琐碎地注入较大的字母中，结果仍然是一种常规语言。

因此，我们正在寻找单词字母上的单词的可能长度集。在单词字母上，该语言是一单元编写的长度： 美元. 。这种语言称为单语言。

让 $ L $ 成为普通语言，并考虑确定的有限自动机（DFA） $ L $. 。一组单词 $ L $ 是DFA中的一组路径长度，被视为有向图，该图在起始状态开始并以一种接受状态结束。一元素字母上的DFA非常驯服（NFA会很荒谬）：它是有限列表，要么是圆形列表。如果列表是有限的，请从 $0$ 至 $ h $ 遵循列表订单；如果是圆形的，则将状态从 $0$ 至 $ h $ 遵循列表的头脑，并 $ h $ 至 $ H+R $ 沿着循环。

让 $ f $ 成为接受状态的一组索引 $ h $, ， 和 $ g $ 是接受状态的一组索引 $ h $ 至 $ H+R $. 。然后

$$ mathrm {ls}（l）= f cup {k ，r + x mid x in g，k in mathbb {n} } $$

相反，让 $ h $ 和 $ r $ 成为两个整数 $ f $ 和 $ g $ 是两组有限的整数集 $ forall x in f，x le H $ 和 $ forall x in G，h le x le H+r $. 。然后是集合 美元 是一种常规语言：这是上述DFA认可的语言。描述这种语言的正则表达方式是 $ a^f mid a^{g}（a^r）^*$.

总结英语， 普通语言的长度集是超过一定值的周期性的整数集.

¹ _{挂在一个 公认的概念, 周期性 表示集合的特征函数（这是一个函数 $ mathbb {n} to { mathtt {false}， mathtt {true} 我们将其提升到功能 $ mathbb {z} to { mathtt {false}， mathtt {true}）是周期性的。高于某个值的周期性意味着该函数仅限于 $ [h，+ infty [$ 可以延长到周期性的功能。}

Answer 2

任何有限的子集$ { ell_1， ldots， ell_n } subset subset mathbb {n} $可以是常规语言$ l $的lenght-set，因为您可以服用Unary alphabet $ {0 {0 {0 } $并将$ l $定义为$ {0^{ ell_1}， ldots，0^{ ell_n} } $（这包括空语言和$ { varepsilon } $）。

现在用于无限套装。我将进行简短的分析，尽管最终答案可能还不够明确。除非您要求我，否则我不会详细说明，因为我认为这是直观的，因为我现在没有太多时间。

令$ r_1，r_2 $为正则表达式生成语言$ l_1 $和$ l_2 $。这很容易看到

• $ mathsf {ls}（l（r_1+r_2））= Mathsf {ls}（l_1 cup l_2）= Mathsf {ls}（l_1） cup mathsf {lssf {ls}（ls}（l_2）$。
• $ MATHSF {LS}（L（R_1R_2））= MathSf {LS}（L_1L_2）= { ell_1+ ell_2： Ell_1 in Mathsf {lssf {ls}（ls}（l_1） }（l_2）} $。这表示为$ Mathsf {ls}（L_1）+ Mathsf {ls}（L_2）$。
• $ mathsf {ls}（l（r_1^*））= {0 } cup bigcup_ {n geq 1} big big { sum_ {i = 1}^n ell_i：（ ell_1 ， ldots， ell_n） in big（ mathsf {ls}（l_1） big）^n big }。$$

因此，可能是常规语言的长度集的可能的整数集是$ mathbb {n} $的有限子集，或者可以通过服用有限的子集$ s_1，s_2 $ of $ Mathbb {n} $，并使用以前的公式有限次。

在这里，我们使用的是，按照定义，通过应用规则来构建正则表达式的规则有限数量，这是通过定义来构建普通语言的。请注意，我们可以从$ mathbb {n} $的任何有限子集开始，即使在正则表达式中，我们仅以长度为0和1的单词开始，仅作为基本情况。所有（有限）单词都是字母符号的（有限）串联的事实很容易证明这一点。

Answer 3

根据普通语言的泵送引理，存在$ n $，因此可以以以下形式写出至少等于$ n $的字符串$ x $条件持有：$$ | UV | <n $$ $$ | V | > 0 $$ $$ uv^{k} w in L $$

这为我们提供了一项测试：一组不能是常规语言的长度集，除非其所有元素都可以表示为一组任意的整数集，否则不超过固定的$ n $，再加上一些不确定的值$ m的倍数$（$ v $的长度），加上一些任意有限值。

换句话说，看起来普通语言的语言长度可能是关于集合的封闭（如评论者所述，如下所述，如下所述）所述的集合如下：$ {a + bn | n in mathbb {n} } cup s $$用于固定$ a，b in mathbb {n} $和所有有限的$ s $，由普通语言的泵送引理（感谢Gilles指向Gilles在我的原始版本中出一个愚蠢的错误，我在其中定义了集合$ mathbb {n} $）。

编辑：更多讨论。当然，所有有限的整数集都是长度集。同样，两个长度集的结合也必须是一个长度集，就像任何长度集的补充一样（因此相交，因此差异）。这样做的原因是，在这些操作下，普通语言是关闭的。因此，我上面给出的答案是（可能）不完整的。实际上，此类集合的任何结合也是一些普通语言的长度集（请注意，我放弃了需要交集，补充，差异等的时间，因为这些属性是在这些属性下关闭的事实，例如在Edit3中进行了讨论；我认为，即使其他人是对的，实际上也只有工会是必要的，情况并非如此）。

Edit2：更多讨论。我给出的答案基本上是如果您进一步提出了Janoma的答案，您最终会出现。 $ bn $零件来自克莱恩之星，$ a $来自串联，对联合，交叉点，差异和补充的讨论来自正则表达式的 +（以及普通语言的其他封闭属性）来自自动机）。

EDIT3：根据Janoma的评论，让我们忘记我在第一个编辑中讨论的语言长度集的闭合属性。由于普通语言具有这些封闭属性，并且由于每种普通语言都有DFA，因此，因此，普通语言的泵送引理适用于普通语言的所有工会，交叉点，补语和差异，我们将其留下来;除了联合之外，甚至无需考虑其中的任何一个，我仍然认为这对于使我的原始作品（由于Gilles的意见而修改）可能是正确的。因此，我的最终答案是：我在原始版本中说的话，以及与设置联合有关的语言长度设置的关闭。