toffoli门的普遍性

Question

关于量子 Toffoli Gate:

1. 是吗 古典 通用，如果是，为什么？
2. 是吗 量子 通用，为什么？

Answer 1

Toffoli对于经典计算是通用的（如@Victor所示）。但是，toffoli并不是通用量子计算（除非我们有疯狂的东西，例如$ p = bqp $）。

要获得量子计算的通用（在通常的定义下），您的门产生的群体必须在单位中密集。换句话说，给定任意$ epsilon $和目标统一$ u $，有某种方法可以应用有限数量的量子门以获取一个单位$ u'$，以便$ || u -u -u'|| < epsilon $。

在此定义下，Toffoli本身并不是通用的，因为它始终需要基础状态来基态，因此无法实现$ | 0 rangle rynarrow rightarrow frac {1} { sqrt {2}}（| 0） rangle + | 1 rangle）$。换句话说，它不能创建叠加。

Answer 2

来自 您引用的Wikipedia文章:

Toffoli门是通用的。这意味着对于任何布尔函数f（x1，x2，...，xm），有一个由Toffoli门组成的电路，该电路采用X1，X2，...，XM，XM和一些设置为0或1的额外位置并输出X1，X2，...，XM，F（X1，X2，...，XM）和一些额外的位（称为垃圾）。本质上，这意味着可以使用Toffoli门来构建将以可逆的方式执行任何所需的布尔功能计算的系统。

这意味着简单地表明，任何布尔函数只能使用Toffoli门构建。

布尔函数通常是由OR，而不是门构建的，这些函数可能合并为形成任何布尔函数。广为人知的是，只有或只有大门，也只有NAND门是可能的。

Toffoli大门可以总结为：

美元{否则。} end {case} $

由于第一个和第二个输出始终等于第一个和第二个输入，因此我们可能会中断它们。所以我们有：

美元

因此，可以将NAND门定义为：

$ operatorName {nand}（a，b）= rm {toffoli}'（a，b，1）$

由于NAND门是通用的，并且NAND门可以定义为Toffoli Gate，因此Toffoli Gate是通用的。

有另一种方法可以证明Toffoli是普遍的，直接构造和而不是大门：

美元

$ operatorName {and}（a，b）= rm {toffoli}'（a，b，0）$

然后，我们可以使用 摩根的法律:

$ operatorNAMe {or}（a，b）= operatotorName {not}（ operatatorName {and}（ propatatorNAME {nont}（a）， operatotorname {not}（b）（b））= rm {toffoli}'（toffoli}'（toffoli}'（toffoli}'（ 1，1， rm {toffoli}'（ rm {toffoli}'（1，1，a）， rm {toffoli}'（1，1，1，b），0）$

---

编辑，因为该问题已编辑，并且其范围更改：

首先，我不了解量化计算，因此，如果出现问题，请添加评论。我做了一些研究以使这个答案完成并以此结束：

Toffoli门是可逆的（但上面使用的Toffoli'不是）。这意味着任何计算都可以撤销。这是：

$（a，b，c）= rm {toffoli}（ rm {toffoli}（a，b，c））$

这意味着对于任何三重（A，B，C），如果将Toffoli应用了两次，则将原始输入作为输出获得。

可逆性很重要，因为量子门必须是可逆的，因此（经典）Toffoli门可以用作量子门。

如证明 这里, ，Deutsch门的定义与Toffoli Gate相似，但它不是经典门，而是一个量子：

$ operatotorName {deutsch}（a，b，c）= | a，b，c rangle mapsto mapsto begin {cases} i cos（ theta）| a，b，b，c rangle + sin（ theta（ theta） ）| a，b，1-c rangle＆ mbox {for} a = b = 1 | a，b，c rangle＆ mbox {否则。} end {cases} $

这样，Toffoli门是Deutsch Gate的一个特殊情况：

美元

Toffoli Gate进行经典计算，缺少相移操作，这意味着Toffoli Gate只能用于90度（$ frac { pi} {2} $）（以及通过组合多个多个）大门，获得90度的倍数）。但这也意味着它不能用于创建状态so伯，因为这将需要以不超过90度的角度进行相移，因此Toffoli Gate不是通用的量子门。

如果我们将toffoli栅极瓦特结合在一起，则可以获得通用量子tgate集。这正是Deutsch Gate所做的。

可以找到有趣的参考 这里, 这里 和 这里. 。可能的有价值的参考，显示了Deutsch Transform的基础 应该在这里, 但是，该链接是密码保护的。