对数复杂性的算法直觉

cs.stackexchange https://cs.stackexchange.com/questions/581

题

我相信我对$ Mathcal {o}（1）$，$ theta（n）$和$ theta（n^2）$等复杂性有合理的掌握。

就列表而言，$ Mathcal {O}（1）$是一个不断的查找，因此它只是获得了列表的头脑。 $ theta（n）$是我在整个列表中走的地方，而$ theta（n^2）$都在列表中的每个元素中浏览列表。

除了知道它位于$ Mathcal {o}（1）$和$ theta（n）$之间的某个位置之外，是否有类似的直观方法来掌握$ theta（ log n）$？

有帮助吗？

解决方案

$ theta（ log n）$复杂性通常与细分连接。在以榜单为例时，请想象一个元素被排序的列表。您可以在$ mathcal {o}（ log n）$时间中搜索此列表中的搜索 - 由于列表的分类性质，您实际上不需要查看每个元素。

如果您查看列表中间的元素并将其与所搜索的元素进行比较，则可以立即说出它是位于数组的左侧还是右侧。然后，您只需取一个半，然后重复该步骤，直到找到它或使用1个项目进行1个项目的列表。

您可以看到该列表有效地将每个步骤切成一半。这意味着，如果您获得了$ 32 $的长度列表，那么您需要达到的最大步骤是$ 5 $。如果您有$ 128 = 2^7 $项目的列表，则仅需$ 7 $ steps，对于$ 1024 = 2^{10} $的列表，您只需要$ 10 $ steps等。

如您所见，$ 2^n $中的指数$ n $总是显示必要的步骤数。对数用于“提取”此指数号码，例如$ log_2 2^{10} = 10 $。它还概括列出不是两个长的幂的长度。

其他提示

就（平衡）树（例如二进制树）而言，所有$ log $ as Base 2）：

  • $ theta（1）$正在获得树的根
  • $ theta（ log n）$是从根到叶的步行
  • $ theta（n）$正在穿越树的所有节点
  • $ theta（n^2）$是在树上的所有子集上的操作，例如，任何两个节点之间的不同路径的数量。
  • $ theta（n^k）$ - 上述任何子集的$ k $节点的概括（对于常数$ k $）
  • $ theta（2^n）$是所有可能的节点子集的操作（所有可能的大小的子集，即，$ k = 1,2， ldots，n $。）。例如，不同的数量 子树 树。

对于可能的$ O（ log n）$，您需要能够以恒定的时间操作相对于$ n $将问题大小按比例减少一定的任意金额。

例如，在二进制搜索的情况下，您可以在每个比较操作的情况下将问题大小减少一半。

现在，您是否必须将问题大小减少一半，实际上是没有。即使算法可以将问题搜索空间降低0.0001％，只要百分比和减少问题大小的操作保持恒定，即使它可以将问题搜索空间降低0.0001％，也就是$ o（ o（） log n）$算法，它不会是快速算法，但是它仍然是$ o（ log n）$，具有很大的常数。 （假设我们正在谈论$ log n $带有基本2日志）

考虑将小数$ n $转换为二进制的算法

while n != 0:
   print n%2, 
   n = n/2

这个 while 循环运行$ log（n）$ times。

是的，$ log（n）$在$ 1 $和$ n $之间，但是比$ n $接近$ 1 $。什么是$ log（n）$？日志函数是指数的逆函数。让我从指数开始，您应该更好地了解对数是什么。

考虑两个数字，$ 100 $和$ 2^{100} $。 $ 2^{100} $是$ 2 $乘以自己的$ 100 $倍。您可以努力计数$ 100 $数字，但是您可以计算$ 2^{100} $吗？我敢打赌你不能。为什么？ $ 2^{100} $是一个很大的数字，以至于它比宇宙中所有原子的数量大。一会儿反思。这是一个很大的数字，它允许您给每个原子一个名称（编号）。手指指甲中的原子数可能是数十亿美元的。 $ 2^{100} $应该对任何人都足够（双关码:)。

现在，在两个数字之间，$ 100 $和$ 2^{100} $，$ 100 $是$ 2^{100} $的对数（基本$ 2 $）。 $ 100 $比$ 2^{100} $相对小。任何人都应该在家中拥有100美元的不同物品。但是，$ 2^{100} $对宇宙足够好。当想到$ log（n）$和$ n $时，请考虑主页与宇宙。

指数和对数从何而来？他们为什么对计算机科学如此感兴趣？您可能不会注意到，但是指数无处不在。您是否支付了信用卡的利息？您只是为您的房屋支付了一个宇宙（还不错，但曲线适合）。我喜欢认为指数来自产品规则，但欢迎其他人提供更多示例。您可能会问什么产品规则；我会回答。

假设您有两个城市$ a $ and $ b $，它们之间有两种方法。它们之间的路径数是多少？二。那是微不足道的。现在说，还有另一个城市$ c $，您可以通过三种方式从$ b $到$ c $。 $ a $ a $ c $之间有几条路径？六，对吗？你是怎么得到的？你数了吗？还是您乘以它们？无论哪种方式，都可以很容易地看到两种方式给出了类似的结果。现在，如果您添加一个城市$ d $，可以从$ c $以四种方式达到$ c $，那么$ a $ a $ d $之间有几种方式？计数如果您不信任我，但它等于$ 2 cdot 3 cdot 4 $，即$ 24 $。现在，如果有十个城市，并且从一个城市到另一个城市都有两条路径，那么它们的安排就像他们在一条直线上一样。从头到尾有多少路？如果您不信任我，将它们乘以它们，但是我会告诉您有$ 2^{10} $，为$ 1024 $。请参阅$ 2^{10} $是$ 10 $的指数结果，$ 10 $是$ 2^{10} $的对数。 $ 10 $是少量数字，而$ 1024 $。

对数函数$ log_2（n）$是$ n $ $ n $ to $ n $ to $ 2^n $（请注意，$ 2 $是对数的基础）。如果您将$ log_b（n）$与自身$ b $ times（请注意，$ b $是对数的基础），您会得到$ n $。 $ log（n）$很小，与$ n $相比，它很小，以至于您的房屋的大小是$ n $是宇宙的大小。

实际上，$ log（n）$函数执行与常数功能非常相似。它们确实会随$ n $增长，但是它们的增长非常缓慢。如果您优化了一个以对数时间运行的程序，该程序在一天前需要进行，则可能会以几分钟的顺序运行。在Euler项目上是否有问题检查自己。

为了继续您的主题，$ o（ log n）$就像反复猜测$ x $位于列表中的位置，并被告知“更高”或“较低”（就索引而言）。

它仍然基于列表的大小，但是您只需要访问元素的一小部分即可。

如果我们有一个 划分和征服算法, ，我们只提出一个递归呼吁，要求一个子问题，这是第二种情况 师父定理, ，即非收回部分的时间复杂性为$ theta（ lg^kn）$，那么算法的复杂性将为$ theta（ lg^{k+1} n）$。

换句话说，当我们有一个划分和征服算法并在一个问题上汇总呼吁自我的问题，而不是当前问题的恒定因素，而非收回部分的时间为$ theta（1）$（constand ），那么算法的运行时间将为$ lg n $。

这 二进制搜索 算法是经典示例。

直觉是您可以将数字减少到1个为1的o（lg n）之前，将其切成数字，例如n。

要进行可视化，请尝试将其绘制为二进制树，并通过求解此几何进程来计数级别的数量。

2^0+2^1+...+2^h = n
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