Decidablity语言的语法和自动机

Question

注意，这是一个问题有关的研究CS课程的大学，它不是作业，可以发现 在这里， 在2011年秋季exam2.

这里有两个问题我看到从过去的考试。他们似乎是相关的，第一:

让

$\qquad\mathrm{的有限}_{\mathrm{CFG}}=\{ < \!G\!>\中G\文字{是一个方面的免费法与}|\mathcal{L}(G)|<\infty\}$

证明$\mathrm{的有限}_{\mathrm{CFG}}$为可判定的语言。

和...

让

$\qquad\mathrm{的有限}_{\mathrm{TM}}=\{ < \!M\!> \中M\文字{是图灵机}|\mathcal{L}(M)|<\infty\}$

证明$\mathrm{的有限}_{\mathrm{TM}}$是一个无法判定的语言。

我有点失去了在如何解决这些问题，但是我有一些见解，我认为可以在正确的方向。第一件事是，我意识到的是，语言$A_{\mathrm{REX}}$，

$\qquad A_{\mathrm{REX}}=\{ <\!R w\!> \中R\文字{是一个普通的表达}w\中\mathcal{L}(R)\}$

是一个可判定的语言(证明是，在迈克尔Sipser的 理论运算, 页。168).同一来源也证明了这一背景下免费的语法可以转换为一个经常的表达，反之亦然。因此$A_{\mathrm{CFG}}$，还必须可判定的，因为它可以转化为一个经常的表达。这一点，而事实上这$A_{\mathrm{TM}}$是 联合国-可判定，似乎是有关这个问题。

我唯一能想到的是通过G到图灵机美元A_{\mathrm{REX}}$(后转换为G至一个定期表达)和美元A_{\mathrm{TM}}$.然后接受，如果G否和如果拒绝克没有。如$A_{\mathrm{TM}}$是无法判定，这将永远不会发生。不知何故我觉得我犯了一个错误在这里，但是我不知道它是什么。可能有人请借给我一下?

Answer 1

1. 转到G 斯基普通形式.这种方式，只有空导将开始的象征，不出现其他任何地方，因此如果没有一些生产，可能能够最终产生本身，那么法是无限的。如果没有这样的生产存在，每个符号仅能够产生一个有限的弦，然后将法是有限的。因此，建立一个向图里各生产是一个节点和每个符号内生产是一个边缘目标，符号。如果图有一些周期，CFG是无限的，否则它不是。因此，一个图灵机美元FINITE_{CFG}$可能构做的正是这一点，然后$FINITE_{CFG}$为可判定的.

2. 假设美元FINITE_{TM}$为可判定的.可以说，$H$是图灵机，有一些串为输入并使用本身作为一个输入美元FINITE_{TM}$.如果$FINITE_{TM}$返回真正的(i。e,$H$只接受一个有限的语言)，那么$H$接受的输入，这导致一个矛盾，因为输入的设置是无限的(输入的长度是无限的，因此接受任何可能串为输入意味着接受一种无限定的strings)。如果$FINITE_{TM}$returns false(i。e$H$'s语言是无限大)，则$H$拒绝的投入，意味$H$'s语言是有限的，因为它不接受任何投入(即它的语言是空的)，这导致一个矛盾了。这种方法，假设美元H$存在导致矛盾，而这一假设是基于假定美元FINITE_{TM}$为可判定的.因此，通过矛盾，我们必须美元FINITE_{TM}$不是可判定的.

同一来源也证明了这一背景下免费的语法可以转换为一个经常的表达，反之亦然。

我真的很怀疑Sipser会的状态，你可能误解或误解。这将意味着背景下无法产生完全相同的语言为正确的线性的语法。这是假；正确的线性法产生是一个适当的语言的子集方面无法dp。这就是说，你的方式试图使用常规语言，以回答的问题只是导致你不通的。

正如你可以看到上述在我的证明，这两个问题确实是两个非常独特的、不相关的问题。只是碰巧他们的措词类似。

Answer 2

另一种方式来决定$FINITE_{CFG}$是通过抽吸引理。

抽理说，每个节能灯$L$有一些$N$(可计算的语法、或至少一个上限为它可以很容易地计算出的)，这样，任何$x\在L$长于$N$可以是"抽".

这意味着，如果$L$是有限的， 所有 该词在$L$短于$N$.

现在，所有这一个需要检查是说长度之间$N$美元2N$.如果任何这样的词存在，那么美元是无限的。这是不是太难看到的，这种说法是"如果并且只有如果"，因此如果你找不到词内这个范围内，美元$是有限的。效率这里是糟糕得多于答案的维克多，但是它教一些关于结构紧凑型荧光灯.