什么是beta对等？

Question

在我目前在lambda cyculus上阅读的脚本中，beta等价的定义为：

$ beta $ - 等价$ equiv_ beta $是包含$ rightarrow_ beta $的最小等价。

我不知道那意味着什么。有人可以用更简单的术语解释吗？也许有一个例子？

我需要从教堂鲁斯定理的诱饵跟随诱饵，说

如果m $ equiv_ beta $ n，则有一个带有m $ twebheadRightArrow_ beta $ l和n $ twebheadrightArrow_ beta $ l的L。

Answer 1

$ to_ beta $是$ lambda $ -calculus中项之间的单步关系。这种关系既不反身，对称或及时性。等价关系$ equiv_ beta $是$ to_ beta $的反射性，对称性，传递闭合。这表示

1. 如果$ m to_ beta m'$，则$ m equiv_ beta m'$。
2. 对于所有条款，$ m $，$ m equiv_ beta m $持有。
3. 如果$ m equiv_ beta m'$，则$ m' equiv_ beta m $。
4. 如果$ m equiv_ beta m'$和$ m' equiv_ beta m''$，则$ m equiv_ equiv_ beta m''$。
5. $ equiv_ beta $是满足条件1-4的最小关系。

更具建设性的是，首先应用规则1和2，然后重复规则$ 3 $和$ 4 $，直到它们对关系不添加新元素为止。

Answer 2

这确实是基本的理论。您知道什么是反身关系，什么是对称关系，什么是及时关系，对吗？等价关系是满足所有三个属性的关系。

您可能听说过关系$ r $的“及时关闭”？好吧，只不过是 最少的传递关系 其中包括$ r $。这就是“封闭”一词的含义。同样，您可以谈论关系$ r $的“对称封闭”，关系$ r $的“反射闭合”和以完全相同的方式的关系$ r $的“等价封闭”。

有了一些想法，您可以说服自己，$ r $的传递关闭是$ r cup r^2 cup r^3 cup ldots $。对称闭合为$ r cup r^{ - 1} $。反射封闭是$ r cup i $（其中$ i $是身份关系）。

我们使用符号$ r^*$ for $ i cup r cup r^2 cup ldots $。这是 反身及其闭合 $ r $。现在注意，如果$ r $对称，则每个关系$ i $，$ r $，$ r^2 $，$ r^3 $，...是对称的。因此，$ r^*$也将是对称的。

因此，$ r $的等价封闭是其对称闭合的及时关闭，即$（r cup r^{ - 1}）^*$。这代表了一系列步骤，其中一些是正向步骤（$ r $）和一些落后步骤（$ r^{ - 1} $）。

如果等价封闭与复合关系$ r^*（r^{ - 1}）^* $相同，则关系$ r $据说具有教堂的财产。这代表了所有正向步骤首先出现的一系列步骤，其次是所有向后步骤。因此，教堂的财产说，任何向前和落后的步骤都可以通过稍后再进行前进步骤进行等效地进行。