Что такое бета -эквивалентность?

Question

В сценарии, который я в настоящее время читаю на исчислении Lambda, бета -эквивалентность определяется как:

$ Beta $ -quivalence $ aquiv_ beta $-самая маленькая эквивалентность, которая содержит $ rightarrow_ beta $.

Я понятия не имею, что это значит. Может ли кто -нибудь объяснить это более простыми терминами? Может с примером?

Мне это нужно для леммы, последовавшего за теоремой церкви-руссера, говоря

Если m $ aquiv_ beta $ n, то есть L с M $ twaheadrightRow_ beta $ l и n $ twaheadrightrow_ beta $ l.

Answer 1

$ to_ beta $-одноступенчатая связь между условиями в $ lambda $ -calculus. Это отношение не является ни рефлексивным, симметричным или переходным. Соотношение эквивалентности $ aquiv_ beta $ - это рефлексивное, симметричное, переходное закрытие $ to_ beta $. Это означает

1. Если $ m to_ beta m '$, то $ m aquiv_ beta m' $.
2. Для всех условий $ m $, $ m aquiv_ beta m $ удерживает.
3. Если $ m aquiv_ beta m '$, то $ m' aquiv_ beta m $.
4. Если $ m aquiv_ beta m '$ и $ m' aquiv_ beta m '' $, то $ m aquiv_ beta m '' $.
5. $ aquiv_ beta $-это наименьшее отношение, удовлетворяющее условиям 1-4.

Более конструктивно, сначала применяйте правила 1 и 2, затем повторите правила $ 3 $ и $ 4 $ снова и снова, пока не добавят новые элементы к отношению.

Answer 2

Это теория элементарных наборов на самом деле. Вы знаете, что такое рефлексивное отношение, что такое симметричное отношение и что такое переходное отношение, верно? Отношение эквивалентности - это то, что удовлетворяет всем трем из этих свойств.

Вы, наверное, слышали о «переходном закрытии» отношения $ r $? Ну, это не что иное, как наименьшее транзитивное отношение Это включает в себя $ r $. Это то, что означает термин «закрытие». Точно так же вы можете поговорить о «симметричном закрытии» отношения $ R $, «рефлексивном закрытии» отношения $ R $ и «закрытие эквивалентности» отношения $ R $ точно так же.

С некоторой мыслью вы можете убедить себя в том, что транзитивное закрытие $ r $ равна $ r cup r^2 cup r^3 cup ldots $. Симметричное закрытие-$ r cup r^{-1} $. Рефлексивное закрытие - $ r cup i $ (где $ i $ - это отношение личности).

Мы используем нотацию $ r^*$ для $ i cup r cup r^2 cup ldots $. Это Рефлексивное переходное закрытие $ r $. Теперь обратите внимание, что если $ r $ является симметричным, каждое из отношений $ i $, $ r $, $ r^2 $, $ r^3 $, ... является симметричным. Следовательно, $ r^*$ также будет симметричным.

Таким образом, закрытие эквивалентности $ r $ является переходным закрытием его симметричного закрытия, то есть $ (r cup r^{-1})^*$. Это представляет собой последовательность шагов, некоторые из которых представляют собой шаги вперед ($ r $) и некоторые обратные шаги ($ r^{-1} $).

Отношение $ r $, как говорят, обладает собственностью церкви-россера, если закрытие эквивалентности такое же, как составное отношение $ r^* (r^{-1})^* $. Это представляет собой последовательность шагов, в которых представлены все прямые шаги, за которыми следуют все обратные шаги. Таким образом, в собственности Церкви-Россера говорится, что любое промежуточное и обратное шаги может быть эквивалентно, выполнив передовые шаги сначала и назад.