证明了一个二元树已经在最$\lceil n/2 ceil$叶

Question

我想证明一个 二进制的树 与$n$节点已在最$\左\lceil\压裂{n}{2}\权 ceil$叶。我怎么会去做这种感应?

人们谁是下列在原来的问题成堆，它已经移动 在这里，.

Answer 1

我现在假定问题如下：

鉴于二树$n$节点，证明，它包含在最$\左\lceil\压裂{n}{2}\权 ceil$叶。

让我们工作的树定义$\mathrm{树}=\mathrm{空}\中\mathrm{叶}\中\mathrm{节点}(\mathrm{树},\mathrm{树})$.为$T$这样一棵树，让$n_T$节点的数量在$T$美元l_T$的叶子的数量在$T$.

你是正确的，这样做的感应,但你会需要的 结构 感应遵循的树形结构。对于树木，这往往是作为完整的感应过的 高度 $h(T)$的树木。

感应锚有两个部分。第一，h(t)=0$我们$T=\mathrm{空}$美元l_T=n_T=0元;该权利要求清楚地对空的树。美h(t)=1美元，即$T=\mathrm{叶}$，我们同样有$l_T=1=\左\lceil\压裂{n_T}{2}\权 ceil$，所以要求举行为叶子。

感应假设是：假定该要求拥有对所有的(二)树木$T$美元h(T)\leq k$,$k\图示eq1美元任意的，但是固定的。

为感性步骤，考虑任意的二进制树$T$美元h(T)=k+1美元.As$k\图示eq1美元,$T=\mathrm{节点}(L,R)$美元n_T=n_L+n_R+1美元.如$L$美元R$也是二进制的树木(否则$T$不会)and$h(L)，h(R)\leq k$，感应假设的适用和有

$\qquad\displaystyle l_L\leq\左\lceil\压裂{n_L}{2}\权 ceil\文字{和}l_R\leq\左\lceil\压裂{n_R}{2}\权 ceil.$

作为所有叶$T$在$L$或$R$，我们有那

$\qquad\开始{齐*} l_T&=l_L+l_R\\ &\leq\左\lceil\压裂{n_L}{2}\权 ceil+\左\lceil\压裂{n_R}{2}\权 ceil\\ &\leq\左\lceil\压裂{n_L+n_R+1}{2}\权 ceil\qquad(*)\\ &=\左\lceil\压裂{n_T}{2}\权 ceil \端{齐*}$

不平等的标与美元(*)$可以通过检查(四方式)的情况下区别是否$n_L,n_R\在2\mathbb{N}$.通过电的感应，这一结论的证据。

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作为一个练习，可以使用相同的技术证明以下发言：

• 每一个完美的二进制树的高度$h$有2美元^h-1美元的节点。
• 每一个完整的二进制棵树有一个奇数数量的节点。

Answer 2

我对这个问题有些困惑。如果您对学位最多3美元的树木感兴趣，这就是Wikipedia所说的您想要的，那么我们会遇到一个问题，即单个边缘具有$ n = 2 $ nodes和$ n = 2 $叶子，但是$ n/ 2 = 1 $。无论如何，这里有一个简单的论点。

让$ t $是一棵树，带有$ n $节点和$ l $叶子。由于$ t $是一棵树，因此有$ n -1 $的边缘，并且双重计数它们，我们看到$$ 2n -2 le l + 3（n -l）$$说$ $ 2L le n + 2 $$，这在上面的两个vertex示例中很紧。我想如果您想假设有一个学位的一个根和$ n ge 3 $，那么您可以完善此论点以给出$$ 2l le n + 1 $$，这就是您要寻找的东西，并且当树满时，这很紧。