许多最短的距离，改变当添加一个边缘到图？

Question

让$G=(V)$要一些完成，加权，无向图。我们建立的第二个图表$G=(V,E')$通过增加边缘一个一个的从$E$美元E'$.我们加入$ heta(|V|)$边$G'$。

每次我们添加一个边缘$(u,v)$美元E'$，我们认为最短的距离之间的所有对美元(V,E')$美元(V,E'\杯\{(u)\})$.我们数数有多少，这些短距离已经改变了作为一个的后果，加入$(u,v)$.让$C_i$够数量的最短距离的变化，当我们加上$i$个边缘，并让$n$被边的数量，我们加入总数。

多大$C=\压裂{\sum_i C_i}{n}$?

如$C_i=O(|V|^2)=O(n^2)$,$C=O(n^2)$。可这能够改善吗？注意，我定义$C$可平均在所有的边缘，增加了，因此，一个单一轮在其中一个很大的距离，变化是不是很有趣，虽然它证明，$C=\欧米茄(n)$.

我有一个算法计算一个几何t-扳手贪婪，在$O(C n\记录n)$时间，所以如果$C$美元o(n^2)$，我的算法是速度快于原有的贪婪的算法，如果$C$真的很小，可能更快于已知的最佳算法(虽然我怀疑那)。

一些问题的具体性质，可能帮助一个很好的约束：边缘$(u,v)$添加的总是具有更大重量超过任何边缘已经在图表中(不一定严格的更大)。此外，它的重量是短于最短路径美元之间u$和$v$.

你可能认为的顶点对应的要点在2d飞机和之间的距离的顶点，是欧几里德之间的距离，这些观点。也就是说，每一个顶点$v$对应于某一点$(x,y)美元的飞机，并于边缘$(u,v)=((x_1、y_1),(x_2、y_2))$它的重量等于$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.}$

Answer 1

考虑下述线性链$n+1美元的节点,$n$边和恶毒的选择的权重：

^[来源]

显然，边缘可能已经加入了他们的权重和有$n\中\mathcal{O}(|V|)$。加入虚边缘(这是法律)创建更短的路径，为所有对$(u_i,b_j)$与$i，j=1,\点，k$.As$k\约\压裂{n}{4}$和假设$n\中 heta(|V|)$，两个第一个和最后一行中包含$ heta(|V|)$许多节点每和外的原因$ heta(|V|^2)$许多最短路径的变化。

我们现在可以将"外"现在，即添加下一个边缘重$n+2$美元之间u_{k-1}$美元b_{k-1}$等；如果我们继续这美元(u_1,b_1)$，我们会导致在总$ heta(|V|^3)$最短路径的变化。

如果这不能说服你，要注意实际上你可以开始这一"进程"美元(c_1、c_2)$和向外工作，从那里；这样您加入$\约n$边缘，其原因在总$\约\sum_{i=1}^{n}我^2\中 heta(n^3)=\"希塔"(|V|^3)$许多最短路径改变，这是不可能绘制适合在一个屏幕。