一个持续的优化问题，可减少到TSP

Question

假设我得到了一组有限的点$ p_1，p_2，.. p_n $在飞机上，并要求通过$ p_i $'s绘制两次不同的曲线$ c（p）$尽可能小。假设$ p_i =（x_i，y_i）$和$ x_i

问题1（根据Suresh的评论进行编辑） 确定$ c^2 $ functions $ x（t），y（t）$ t $ t $的y（t）$，使arclength $ l = int _ {[t in 0,1]} sqrt {x'^2 +y'^2} dt $被最小化，$ x（0）= x_1，x（1）= x_n $，对于所有$ t_i：x（t_i）= x_i $，我们有$ y（t_i）= y_i ）$。

我如何证明（或驳斥）问题1是NP-HARD？

为什么我怀疑np-hardness 假设$ c^2 $假设是放松的。显然，最小弧长的功能是$ p_i $的旅行推销员之旅。也许$ c^2 $约束只会使问题更加困难？

语境 这个问题的一个变体已发布 MSE. 。它没有在那里收到答案 莫. 。鉴于解决问题是不平凡的，我想确定问题有多难。

Answer 1

可不同性要求不会改变问题的性质：需要$ MATHCAL {C}^0 $（连续性）或$ Mathcal {C}^{ infty} $（Infinite Districation）给出了相同的下限长度和相同的积分顺序，相当于解决旅行推销员问题。

如果您对TSP有解决方案，则有一个$ MATHCAL {C}^0 $曲线，可以通过所有点。相反，假设您有一个有限长度的$ MATHCAL {C}^0 $曲线，并且让$ p _ { sigma（1）}， ldots，p _ { sigma（n）} $作为遍历点的顺序和$ t_1， ldots，t_n $相应的参数（如果曲线不止一次遍历点，请选择$ t $的任何可能值）。然后，由$ n $ semgments $ [p _ { sigma（1）}构建的曲线，p _ { sigma（2）}]， ldots，[p _ { sigma（n-1）}，p _ { sigma（ sigma（ sigma） n）}]，[p _ { sigma（n）}，p _ { sigma（1）}] $更短，因为对于每个段，直线比连接点的任何其他曲线都短。因此，对于点的每个顺序，最佳曲线是TSP解决方案，TSP解决方案提供了点的最佳顺序。

现在，让我们证明，要求曲线为$ MATHCAL {C}^{ infty} $（或任何$ K $）的$ Mathcal {C}^k $）不会改变点的最佳订购。对于任何总长度$ ell $和任何$ epsilon> 0 $的TSP解决方案，我们可以绕过每个角落，即构建$ Mathcal {c}^{ infty} $曲线，以相同的顺序横穿点并且最多有$ ell + epsilon $（显式结构依赖于代数函数，$ e^{ - 1/t^2} $定义 凸起功能 从曲线段之间的那些平滑连接中，例如$ e^{1-1/x^2}（xe^{ - 1/（1-x）^2}）$，它与$ y = 0 $ at $ x连接起来= 0 $，$ y = x $ at $ x = 1 $;使这些明确的内容是乏味的，但它们是可以计算的）；因此，$ Mathcal {C}^{ infty} $曲线的下限与段集合相同（请注意，通常无法达到下限）。