半集团 - NP完整问题

Question

让我开始注意 这是一个家庭作业问题，请仅提供建议和相关的观察，没有直接答案. 。话虽如此，这是我正在考虑的问题：

令半clique = {$ langle g rangle $ | $ g $是一个无向图，具有至少$ n/2 $节点的完整子图，其中n是$ g $}中的节点数。表明半胶合是NP完整的。

另外，我知道以下内容：

• 就这个问题而言 集团, ，定义为输入图的无向子图，其中每个两个节点都通过边缘连接。一个 $ k $ -clique 是一个包含$ k $节点的集团。
• 根据我们的教科书，迈克尔·辛普尔（Michael Sipser）的“计算理论简介“，pg 268，问题集团= {$ langle g，k rangle $ | $ g $是一个无向图，带有$ k $ -clique}在NP中
• 此外，根据相同的来源（在第283页上）指出，集团在NP-Complepe中（因此也显然在NP中）。

我想我在这里有一个答案的内核，但是我可以使用 一些指示它出了什么问题或可能与答案相关的任何相关点. 。这是我到目前为止的总体想法

好的，我首先要注意，证书将只是$ text {size} geq n/2 $的半qlique。现在看来，我需要做的是创建一个验证程序，该验证者是从集团（我们知道是NP完整）到半粘液的多项式时间的缩短。我的想法是，这将通过创建一台在书本中运行图灵机验证器的图灵机来完成，以供集团使用半固定的其他约束。

这对我来说是正确的，但我还不相信自己在这个主题上。再次，我想提醒大家 这是一个家庭作业问题 因此，请尝试避免回答问题。最不受欢迎的任何指导都将是最受欢迎的！

Answer 1

从您的描述和评论来看，通过有关如何使用减少来证明NP完整性的确切描述，您可能会得到最好的帮助：

一个问题是np complete iff，它在NP中，并且是NP-HARD。这意味着任何NP完整性的证明都有两个部分：证明问题在于NP和证明它是NP-HARD的证明。

在第一部分中，您必须证明可以使用一些合适的证书在多项式时间内验证是的。另外，您可以通过非确定性的图灵机在多项式时间内解决问题，但这通常不是因为很容易犯错而进行。

在您的情况下，这取决于证明每张$ n/2 $ clique的图表，您可以找到一些证据，表明确实有这样一个集团，因此，有了这样的证据，您可以检查多项式确实有这样一个集团的时间。

在第二部分中，您必须证明问题是NP-HARD。在几乎所有情况下，这表明您的问题至少与其他NP难题一样困难。如果半固定比集团的难度最低，则也必须是NP。

您通过证明减少来做到这一点 从 集团， 至 一半。您“减少”问题，使其“更容易”。您说“解决集团很难，但我已经证明您只需要解决半点即可解决集团”。 （许多人，甚至专家，偶尔会以错误的方式说话:)）

减少的类型不同：最常用的减少是您在本例中映射实例为半粘合物的实例，其大小在多项式时间内最大程度更大。这意味着，如果我们能够解决半平线，那么我们还可以通过链接算法和还原来解决集团。

换句话说，我们必须证明，如果我们可以解决半固定的问题，我们可以解决集团。我们可以通过证明对集团的每个实例，我们可以设计一个半拼写的实例，以使集团的实例是一个“是”实例，如果半拼写的实例是“是”实例。

因此，证明是这样开始的：给定图$ g =（v，e）$，我可以创建一些图$ h =（v'，e'）$，使$ g $包含$ k $ -clique iff $ h $包含$ n/2 $ -clique。我将把这部分留给您（这是需要创造力的部分，这是关于手头的特定问题的部分）。

Answer 2

你似乎有点迷路了。您想显示半固定的$ ge $ clique，这意味着您正在寻找一种将集团实例作为输入和输出的属性实例的poly time算法，并使用“是”输入映射到“ to”的属性的半固定实例。是的“ ES和“ no”输入映射到“ no” s。

因此，基本上，任务是获取图形$ g $和一个数字$ k $并输出新的图$ h $（和无数字），以便$ h $在其至少一半的顶点上有一个集团G $有一个尺寸$ k $的集团。

下面的扰流板包含有关如何执行此减少的提示：

尝试通过（以某种方式将适当尺寸的集团连接到$ g $）来制作$ h $，再加上一些未连接到任何东西的顶点。

Answer 3

您可以从顶点盖问题中减少。如果给定图的补体图的顶点覆盖率小于N/2节点，则该图的列将具有超过N/2节点的库，这将是一个半集合。只是声明很难解决顶点覆盖问题，所以这也是如此。