涉及教会数字的Lambda微积分评估

Question

我了解一个 教堂数字 $ c_n $看起来像$ lambda s。 lambda z。 s $（... n次...）$ s ; z $。这无非就是“函数$ s $应用于函数$ z $”。

$ mathtt {times} $函数的可能定义是：$ mathtt {times} = lambda m。 lambda n。 lambda s。 m ; （n ; s）$。看着身体，我了解功能背后的逻辑。但是，当我开始评估时，我会卡住。我将以一个示例来说明它：

$$ begin {align*}（ lambda m。 lambda n。 。 （ lambda s。 lambda zs ; s ; z）; （（ lambda s。 （ lambda s。 lambda zs ; s ; z）; （ lambda zs ; s ; s ; z） to^*＆ lambda s。 lambda z。（ lambda zs ; s ; s ; z）;（ lambda zs ; s ; s ; s ; s ; z）;

现在，在这种情况下，如果我首先应用$（ lambda zs ; s ; s ; z）; z $，我将获得所需的结果。但是，如果我应用$（ lambda zs ; s ; s ; s ; z）;（ lambda zs ; s ; s ; s ; s ; z）$首先，因为应用程序是从左边关联的，我的结果错误：

$ lambda s。 lambda z。（ lambda zs ; s ; s ; z）;（ lambda zs ; s ; s ; s ; s ; z）; z to lambda s。 lambda z。（s ; s ; s ;（ lambda zs ; s ; s ; s ; z））

我不能再减少这一点。我究竟做错了什么？结果应为$ lambda s。 lambda zs ; s ; s ; s ; s ; s ; z $

Answer 1

我认为您的减少是正确的（尽管我只关注它）。最后，您不能将$（ lambdaz。sssz）$应用于$ z $，这在学期中从未出现。 $ lambda z。 ffz $是$ lambda z。 （ff）z $，而不是$ lambda z。 f（fz）$。 lambda-calculus中的函数有一个参数。他们有效 咖喱: ：两项函数的功能被实现为一个单词函数，该函数采用第一个参数并返回一个新的单一词汇函数，该函数获取第二个参数并返回结果。

定义教堂数字时，您犯了同样的错误。 $ n $的教堂数字基于构成功能$ n $ times。 “功能$ s $应用于函数$ z $的$ n $ times” $ lambda s。 lambda z。 S（S（…S ：Z）…））$。您写的是函数$ s $应用于函数$ s $的$ n-1 $ times，最后是$ z $，这并不是一个有用的术语。

$ 2 times 3 $因此是$（ lambda mns。m（ns））（ lambda sz。S。S（s ：z））（ lambda sz。S。S（s（s ：z））） $。我会让您检查它的确会减少到$ lambda s z。 s（s（s（s（s ：z）））））$。