3SAT变体的复杂性

Question

这个问题是由我的动机 回答 在另一个问题上，我说的事实是，中间问题之间的问题都是$ np $ - complete。在前一种问题中，有一个总顺序，使每个三重三重的约束在后来的问题中被强制执行，因此有一个总顺序，因此违反了每个三重的两者之间的约束。

以下3SAT变体的复杂性是什么？

3SAT_1 = {（$ phi $）：$ phi $具有使每个子句false}的作业

3SAT_2 = {（$ phi $）：$ phi $具有分配，使得一半的条款是真实的，而另一半为false}

Answer 1

3SAT_1很容易，并且3SAT_2的变体是NP完整的。我的猜测是3SAT_2也是NP完整的。更新：我的猜测在下面证明。

令$ c = x lor y lor z $为子句。然后$ lnot c = lnot x land lnot y land lnot z $。一项作业将使$ phi $ false的每个条款使所有条款都使所有否定为真。否定所有条款的结合只是一个很大的结合。仅当它不包含变量及其否定时，连词是可以满足的。因此，3SAT_1在P中（实际上是在AC $^0 $中）。

3SAT_2的变体询问$ phi $是否具有$ 8/9 $条款的作业。这显然在NP中。要将3SAT减少到此变体中，请采用公式$ phi $，对于每个条款$ c $ in $ phi $中的每个条款$ phi $添加八个条款$$（x_c lor y_c lor z_c） land cdots cdots cdots land（ land（ lnot x_c lor lnot y_c lor lnot z_c）。$$在任何任务中，其中七个都是正确的。我们总共有$ 9 | phi | $条款。在我们添加的$ 8 | phi | $中，恰好$ 7 | phi | $总是正确的。因此，$ phi $在新的公式中只能满足$ 8 | phi | $约束，这是其条款的$ 8/9 $。

更新：这是从3SAT减少到3SAT_2本身。给定公式$ phi $，请考虑两种情况。第一种情况是我们可以一次以$ phi $为单词。如上所示，在这种情况下，每个变量仅对正面或否定性出现，因此将其适当地设置，该公式是可满足的。否则，添加$ x lor y lor z $的$ | phi | $条款，其中$ x，y，z $是新变量。在任何任务中，所有这些都可以满足，或者所有这些都不满足。由于原始条款不能一次完全伪造（通过假设），因此，只有当原始公式满足时，新公式才能满意。