是否存在NP问题，不是在P中，而不是NP完成？

Question

$ mathsf {np} $中是否有任何已知问题（而不是在$ mathsf {p} $中，不是$ mathsf {np} $完成？我的理解是，目前尚未有这种情况，但尚未被排除在于可能性。

如果存在$ mathsf {np} $（而不是$ mathsf {p} $），而不是$ mathsf {np text { - }完整} $在该问题的实例与$ Mathsf {np text { - }完整} $设置之间？如果这种情况，我们如何知道$ mathsf {np} $问题并不比我们当前确定为$ mathsf {np text { - }完整} $设置的问题“难”？

Answer 1

NP中是否有任何已知问题（而不是在P中）不完整？我的理解是，目前尚未有这种情况，但尚未被排除在于可能性。

不，这是未知的（除了琐碎的语言$ emptyset $和$ sigma^*$之外，这两个是不完整的，因为定义了多个降低，通常在考虑多个人时忽略了这两种减少）。 $ mathsf {np} $问题的存在，该问题尚不完整，该问题对于$ mathsf {np} $ wrt多种多项式时间缩减将暗示$ mathsf {p} neq neq neq mathsf {np {np} $已知（尽管被广泛相信）。如果这两个类别不同，那么我们知道$ mathsf {np} $中的问题尚不完整，请在$ mathsf {p} $中考虑任何问题。

如果存在NP（而不是p）但不是NP完成的问题，这是否是由于该问题的实例与NP完成集合之间没有现有的同构的结果吗？

如果两个复杂性类别不同，那么 拉德纳定理 有一些问题是$ mathsf {np} $ - 中间的问题，即它们在$ mathsf {p} $和$ mathsf {np text { - }完整} $之间。

如果这种情况，我们怎么知道NP问题并不比我们当前确定为NP完整集的问题“难”？

它们仍然是多项式的时间，可简化为$ MATHSF {np text { - } complete} $问题，因此它们不能比$ Mathsf {np text { - }完整} $问题更难。

Answer 2

正如@kaveh所说，只有当我们假设$ p neq np $时，这个问题才有趣。我的其余答案将其视为一个假设，并且主要提供链接以进一步弄湿您的食欲。根据该假设，Ladner的定理我们知道，$ P $也不是$ NPC $中的问题；这些问题称为$ np $ - 室内中间体或$ npi $。有趣的是，Ladner的定理可以推广到 许多其他复杂性课程 产生类似的中间问题。此外，定理还暗示有一个 无限层次结构 在$ npi $中彼此相互降低的中间问题。

不幸的是，即使假设$ p neq np $，也很难找到可以证明是$ npi $的天然问题（当然，您有来自Ladner定理的证明）。因此，即使假设$ p neq np $目前我们只能相信一些问题是$ npi $，但不能证明这一点。当我们有合理的证据认为$ NP $问题不在$ NPC $和/或不在$ p $中时，我们就会出现这种信念；或者，在研究了很长时间并避免将其安装成任何一堂课时。在 这个答案. 。它包括保理，离散日志和图形形态等有史以来的收藏夹。

有趣的是，其中一些问题（值得注意的：保理和离散日志）在量子计算机上具有多项式时间解决方案（即它们在$ bqp $中）。其他一些问题（例如图形形状）不在$ bqp $中，并且正在进行的研究以解决这个问题。另一方面，人们怀疑$ npc not subseteq bqp $，因此人们不相信我们将拥有有效的SAT量子算法（尽管我们可以提高二次速度）；担心这是一个有趣的问题 哪种结构$ npi $问题才能在$ bqp $中.

Answer 3

不 NP- 策划问题已知 p. 。如果有任何一个多项式时间算法 NP- 集结问题，然后 p = NP, ，因为任何问题 NP 每个都有多项式时间的缩短 NP- 集合问题。 （实际上就是这样”NP- 定义“定义”。显然，如果每个 NP- 完成问题在于 p, ， 这意味着 p ≠ NP. 。我们不确定为什么很难以一种或另一种方式显示它；如果我们知道这个问题的答案，我们可能会对 p 和 NP. 。我们有一些我们知道不起作用的证明技术（例如，相对化和自然证明），但没有关于为什么很难的有原则解释。

如果有问题 NP 不在 p, ，然后实际上存在一个无限的问题。 NP 在这些之间 p 那是 NP 完整：这是一个称为的结果 拉德纳定理.

希望这可以帮助！

Answer 4

有一些NP的问题，但是没人知道它们是NP填充或$ P $，例如 图同构¹. 。但是，据我所知，对于此类问题，没有特殊的复杂性课程，我可能错了。

可能是$ p $，例如 Aks 算法没有人知道原始测试为$ P $或NPC。

还有一些NPC的问题，但没有 强烈的感觉 或者 弱NP完整, ， 喜欢 2分区 问题，意味着，如果输入数字按输入大小的多项式顺序进行，则可以在$ p $中解决此问题（或者对它们有伪多项式时间算法）。

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¹ 类似问题： 子图同构 在强大的意义上是NP完整的。