我如何使用修复，如何工作？

Question

我对文档有点困惑 fix （尽管我认为我知道现在应该做什么），所以我查看了源代码。那使我更加困惑：

fix :: (a -> a) -> a
fix f = let x = f x in x

这如何返回固定点？

我决定在命令行中尝试一下：

Prelude Data.Function> fix id
...

它挂在那里。现在公平地说，这是我的旧MacBook上，这有点慢。但是，此功能不能是 也 计算上的昂贵，因为任何传递给ID的东西都可以使同一件事返回（更不用说它不吃CPU时间了）。我究竟做错了什么？

Answer 1

你没错。 fix id 是一个无限的循环。

当我们说 fix 返回功能的最小固定点，我们的意思是 领域理论 感觉。所以 fix (\x -> 2*x-1) 是 不是 要回来 1, ，因为虽然 1 是该功能的固定点，不是 至少 一个在域排序中。

我无法描述一两个段落中的域排序，因此我将您推荐您上面的域理论链接。这是一个出色的教程，易于阅读，并且具有启发性。我强烈推荐它。

为10,000英尺的景色， fix 是一个高阶功能，编码 递归. 。如果您有表达：

let x = 1:x in x

这导致无限列表 [1,1..], ，您可以使用同样的话使用 fix:

fix (\x -> 1:x)

（或简单 fix (1:)），说我找到了一个固定点 (1:) 功能，IOW值 x 这样 x = 1:x...就像我们在上面定义的一样。从定义中可以看到， fix 无非是这个想法 - 递归封装在函数中。

这也是递归的真正一般概念 - 您可以以这种方式编写任何递归功能， 包括使用多态性递归的功能. 。因此，例如典型的斐波那契函数：

fib n = if n < 2 then n else fib (n-1) + fib (n-2)

可以使用 fix 这边走：

fib = fix (\f -> \n -> if n < 2 then n else f (n-1) + f (n-2))

练习：扩展定义 fix 表明这两个定义的定义 fib 是等效的。

但是，为了充分理解，请阅读有关领域理论。这真的很酷。

Answer 2

我根本不明白这一点，但是如果这对任何人有帮助……那么Yippee。

考虑的定义 fix. fix f = let x = f x in x. 。令人难以置信的部分是 x 被定义为 f x. 。但是请考虑一分钟。

x = f x

由于x = fx，因此我们可以代替 x 在右侧，对吗？因此...

x = f . f $ x -- or x = f (f x)
x = f . f . f $ x -- or x = f (f (f x))
x = f . f . f . f . f . f . f . f . f . f . f $ x -- etc.

因此，诀窍是为了终止 f 必须生成某种结构，以便以后 f 模式可以匹配该结构并终止递归，而无需真正关心其参数的完整“值”（？）

当然，除非您想做诸如Luqui所示的无限列表之类的事情。

汤姆德的阶乘解释很好。 FIX的类型签名是 (a -> a) -> a. 。类型签名 (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) 是 (b -> b) -> b -> b, ， 换句话说， (b -> b) -> (b -> b). 。所以我们可以说 a = (b -> b). 。这样，解决方案采用我们的功能，那就是 a -> a, ，或者真的， (b -> b) -> (b -> b), ，并将返回类型的结果 a, ， 换句话说， b -> b, 换句话说，另一个功能！

等等，我认为应该返回固定点...不是功能。好吧，确实如此（因为函数是数据）。您可以想象，它赋予了我们找到阶乘的确定功能。我们给了它一个不知道如何重复的函数（因此，它的参数之一是用于重新浏览的函数），并且 fix 教会了如何重复。

记得我怎么说 f 必须生成某种结构，以便以后 f 模式可以匹配并终止吗？好吧，这不是完全正确的。汤姆德说明了我们如何扩展 x 应用功能并迈向基本情况。为了他的功能，他使用了一个if/then，这就是导致终止的原因。重复替换后， in 整个定义的一部分 fix 最终停止根据 x 那就是它可以计算和完整的。

Answer 3

您需要一种方法才能终止固定点。扩展您的示例很明显它不会完成：

fix id
--> let x = id x in x
--> id x
--> id (id x)
--> id (id (id x))
--> ...

这是我使用修复程序的真实示例（请注意，我不经常使用修复程序，并且在我写这篇文章时可能很累 /不必担心可读的代码）：

(fix (\f h -> if (pred h) then f (mutate h) else h)) q

wtf，你说！好吧，是的，但是这里有一些非常有用的观点。首先，您的第一个 fix 参数通常应该是“反复”案例的函数，第二个参数是采取行动的数据。这是与命名函数相同的代码：

getQ h
      | pred h = getQ (mutate h)
      | otherwise = h

如果您仍然感到困惑，那么也许阶乘将是一个简单的例子：

fix (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) 5 -->* 120

注意评估：

fix (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) 3 -->
let x = (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x in x 3 -->
let x = ... in (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x 3 -->
let x = ... in (\d -> if d > 0 then d * (x (d-1)) else 1) 3

哦，你只是看到了吗？那 x 成为我们内心的功能 then 分支。

let x = ... in if 3 > 0 then 3 * (x (3 - 1)) else 1) -->
let x = ... in 3 * x 2 -->
let x = ... in 3 * (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x 2 -->

在上面，您需要记住 x = f x, 因此，两个论点 x 2 最后而不是仅 2.

let x = ... in 3 * (\d -> if d > 0 then d * (x (d-1)) else 1) 2 -->

我会在这里停下来！

Answer 4

我的理解是，它找到了该功能的值，以便输出与您给它相同的东西。捕获量是，它将始终选择不确定的（或在Haskell，Undefined和Infinite Loops中的无限环路）或其中最不确定的循环。例如，使用ID，

λ <*Main Data.Function>: id undefined
*** Exception: Prelude.undefined

如您所见，未定义是一个固定点，所以 fix 会选择。如果您做（ x-> 1：x）。

λ <*Main Data.Function>: undefined
*** Exception: Prelude.undefined
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) undefined
[1*** Exception: Prelude.undefined

所以 fix 无法选择不确定的。使其与无限循环更加连接。

λ <*Main Data.Function>: let y=y in y
^CInterrupted.
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) (let y=y in y)
[1^CInterrupted.

同样，有点差异。那么固定点是什么？让我们尝试 repeat 1.

λ <*Main Data.Function>: repeat 1
[1,1,1,1,1,1, and so on
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) $ repeat 1
[1,1,1,1,1,1, and so on

这是相同的！由于这是唯一的固定点 fix 必须安顿下来。对不起 fix, ，没有无限的环路或未定义的循环。