子集总和问题的这种变体更容易解决吗？

StackOverflow https://stackoverflow.com/questions/376003

题

我有一个与 子集总和问题 并且想知道差异是否使它变得更容易，即可以在合理的时间内解决。

给定一个值v，一个设定的大小为l和一个数字[1，n] s的序列，s总数的尺寸l子集至小于v？

这与三个方面的子集总和问题不同：

  1. 我关心多少个子集 较少的 比给定值，而不是多少 平等的.
  2. 子集尺寸是固定的。
  3. 我在乎 多少 设置总和小于V，而不仅仅是存在。

是否有任何合理有效的算法可以解决此问题？

编辑：显然，可以使用组合生成算法在O（n选择L）中完成。我真正感兴趣的是聪明的骇客，可以显着加快它的速度。

有帮助吗？

解决方案

（决策版本的）您的问题仍然是NP完成的。这个想法是，如果我们可以解决您的问题，那么（对于每个子集大小，说）我们可以问多少套件总和小于v，以及多少总和比V-1小于V-1，而这两个数字的差异将告诉我们是否是确切到V的子集 - 因此我们可以解决子集总和问题。 [这不是一个完整的证据，因为它是 简化图灵, ，不是 许多减少.]

但是，有一个简单的 动态编程 时间O（NLV）运行的解决方案。 [这没有证明p = np的原因是v可以在输入大小中指数：n位，您可以将值表示为2n. 。但是，假设您的V不是指数级，这不是问题。]

令num [v] [k] [i]表示s的第一个i元素的大小为k子集的数量，然后将它们计算为（对于每个i）：

    num[0][0][i] = 1
    for v = 1 to V:
        for k = 1 to L:
            num[v][k][i] = num[v][k][i-1] + num[v-S[i]][k-1][i-1]

其中s [i]是您序列中的ITH元素。 （任何总结到V的尺寸K都不使用s [i]，因此在num [v] [k] [i-1]中计数，或者使用s [i]，这意味着其余部分该子集具有K-1元素，仅使用序列中的第一个I-1号，然后总和到vs [i]。 ;那是你的答案。

另外，如果您仔细地进行操作，则可以省略第三个下标（每个I等都向下运行循环）；为了清楚起见，我只包含它。

其他提示

我不准备提供证据，但这听起来可能适合动态编程方案：将大小2的子集的列表列为尺寸3的计算机子集，因此Hyou只需要检查一个少量潜在客户。

想到的一个优化是：订购序列（如果不是这样）。从其开始时选择第一个L-1项目，然后选择最后一个项目，它是最大的值（序列中的下一个最大值将使总和太大）。丢弃序列的其余部分，因为这些项目无论如何都不能成为有效子集的一部分。

之后，我想这又是完整的搜索。但是话又说回来可能还可能进行其他优化。

子集总和问题的动态编程解决方案生成了一个包含此答案的表（即v的布尔值v，其中v是最大元素的数量，n是可以在满足的集合中的最大项目数约束；如果<= n元素总和为<= v），则每个布尔值为true。因此，如果N * V对您来说不太大，则存在一种可接受的快速算法。子集总和解决方案只是该表中元素数为<= n/2的最高集元素。

如果只是正整数，您可以执行验证步骤 如果你需要;

以集合中的L-1最小整数的总和。如果是总和x，则如果问题是 应该 有解决方案。想一想，您可以以这种方式消除其他L ...

好吧，一方面，因为您要指定尺寸= l，即使您无法想到任何聪明的东西，并且只需在最坏的情况下使用（n选择L）单独的总和，所以要好一些比n ^^ l（嗯，l+1，然后将每个子集总结）。

这听起来像是n选择问题类别的问题。 SKIENA的算法设计手册涵盖了N的K-Subsets，该书建议按词典顺序列举相关子集（例如，递归地）。然后对每个子集进行总和和比较。

如果您有分类的集合，则可能会从解决方案空间中修剪不可能的解决方案。

也许动态的编程公式是在FPTA的PTA上散布的。

许可以下： CC-BY-SA 和 归因
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