在 C# 中以数学方式导航大型 2D 数字网格

Question

我试图在一个非常大的虚拟网格中找到某些感兴趣的坐标。该网格实际上并不存在于内存中，因为尺寸很大。为了回答这个问题，我们假设这些尺寸是 (Width x Height) = (Int32.MaxValue x Int32.MaxValue).

  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
  2   4   6   8  10  12  14  16  18  20
  3   6   9  12  15  18  21  24  27  30
  4   8  12  16  20  24  28  32  36  40
  5  10  15  20  25  30  35  40  45  50
  6  12  18  24  30  36  42  48  54  60
  7  14  21  28  35  42  49  56  63  70
  8  16  24  32  40  48  56  64  72  80
  9  18  27  36  45  54  63  72  81  90
 10  20  30  40  50  60  70  80  90 100

有关网格的已知数据：

• 网格尺寸= (Int32.MaxValue x Int32.MaxValue).
• 任何给定值 (x, y) 坐标 = X 和 Y 的乘积 = (x * y).

给定上述一大组有限数，我需要计算一组坐标，其值 (x * y) 是一个幂 e. 。比方说 e 在本例中为 2。

由于循环遍历网格不是一个选项，所以我考虑循环遍历：

int n = 0;
long r = 0;
List<long> powers = new List<long>();
while (r < (Int32.MaxValue * Int32.MaxValue))
{
    r = Math.Pow(e, n++);
    powers.Add(r);
}

这赋予我们一套独特的权力。我现在需要找出每种力量存在的坐标。让我们来 2^3=8. 。如上面的网格所示，8存在于4个坐标中： (8,1), (4,2), (2,4) & (1, 8).

显然，这里的问题是找到数字 8 的多个因数，但对于更大的数字来说这将变得不切实际。还有其他方法可以实现这一目标吗？我错过了什么吗？

• 使用集合不起作用，因为这些因素不存在于内存中。
• 是否有一种创造性的方法来分解知道所讨论的数字始终是 的幂 e?

Answer 1

另一种解决方案，不像 Commodore63 的想法那么复杂，但因此可能更简单一些（不需要进行素因数分解并计算所有真子集）：

const int MaxX = 50;
const int MaxY = 50;
const int b = 6;

var maxExponent = (int)Math.Log((long)MaxX * MaxY, b);

var result = new List<Tuple<int, int>>[maxExponent + 1];
for (var i = 0; i < result.Length; ++i)
  result[i] = new List<Tuple<int, int>>();

// Add the trivial case
result[0].Add(Tuple.Create(1, 1));

// Add all (x,y) with x*y = b
for (var factor = 1; factor <= (int)Math.Sqrt(b); ++factor)
  if (b % factor == 0)
    result[1].Add(Tuple.Create(factor, b / factor));

// Now handle the rest, meaning x > b, y <= x, x != 1, y != 1
for (var x = b; x <= MaxX; ++x) {
  if (x % b != 0)
    continue;

  // Get the max exponent for b in x and the remaining factor
  int exp = 1;
  int lastFactor = x / b;
  while (lastFactor >= b && lastFactor % b == 0) {
    ++exp;
    lastFactor = lastFactor / b;
  }

  if (lastFactor > 1) {
    // Find 1 < y < b with x*y yielding a power of b
    for (var y = 2; y < b; ++y)
      if (lastFactor * y == b)
        result[exp + 1].Add(Tuple.Create(x, y));
  } else {
    // lastFactor == 1 meaning that x is a power of b
    // that means that y has to be a power of b (with y <= x)
    for (var k = 1; k <= exp; ++k)
      result[exp + k].Add(Tuple.Create(x, (int)Math.Pow(b, k)));
  }
}

// Output the result
for (var i = 0; i < result.Length; ++i) {
  Console.WriteLine("Exponent {0} - Power {1}:", i, Math.Pow(b, i));
  foreach (var pair in result[i]) {
    Console.WriteLine("  {0}", pair);
    //if (pair.Item1 != pair.Item2)
    //  Console.WriteLine("  ({0}, {1})", pair.Item2, pair.Item1);
  }
}

Answer 2

最好的方法是将 e 分解为素数分量。可以说它们如下：{a^m，b^p，c^q}。然后为 e 的每个幂构建集合，例如如果 m=2、p=1、q=3，

e^1 = {a, a, b, c, c, c}

e^2 = (a, a, a, a, b, b, c, c, c, c, c, c}

ETC。最多 e^K > Int32.MaxValue * Int32.MaxValue

然后，对于每个集合，您需要迭代这些集合的每个唯一子集以形成一个坐标。另一个坐标是剩下的。对于 e 中的每个唯一素数，您将需要一个嵌套循环。例如：

假设 e^2

  M=m*m;
  P=p*p;
  Q=q*q;

  c1 = 1 ;
  for (i=0 ; i<=M ; i++)
  {
    t1 = c1 ;
    for (j=0 ; j<=P ; j++)
    {
      t2 = c1 ;
      for (k=0 ; k<=Q ; k++)
      {
        // c1 holds first coordinate
        c2 = e*e/c1 ;
        // store c1, c2

        c1 *= c ;
      }
      c1 = t2*b ;
    }
    c1 = t1*a ;
  }

应该有 (M+1)(P+1)(Q+1) 个唯一坐标。