稍微转向浮点 (im) 精度，第 1 部分

StackOverflow https://stackoverflow.com/questions/1053

题

大多数数学家都同意：

eπi + 1 = 0

然而，大多数浮点实现不同意。我们能如何很好地解决这一争端？

我很想了解不同的语言和实现，以及使结果尽可能接近于零的各种方法。有创意！

有帮助吗？

解决方案

这并不是说大多数浮点实现不同意，而是它们无法获得获得 100% 答案所需的准确性。正确的答案是他们不能。

PI 是一个无限的数字序列，除了符号表示之外，没有人能够用任何东西来表示，e^X 也是如此，因此达到 100% 准确度的唯一方法就是使用符号。

其他提示

这是我尝试过的实现和语言的简短列表。它按接近零的程度排序：

  • 方案： (+ 1 (make-polar 1 (atan 0 -1)))
    • ⇒ 0.0+1.2246063538223773e-16i （Chez 计划、麻省理工学院计划）
    • ⇒ 0.0+1.22460635382238e-16i （诡计）
    • ⇒ 0.0+1.22464679914735e-16i （鸡肉与 numbers 蛋）
    • ⇒ 0.0+1.2246467991473532e-16i （MzScheme、SISC、Gauche、Gambit）
    • ⇒ 0.0+1.2246467991473533e-16i （单片机）
  • 通用 Lisp： (1+ (exp (complex 0 pi)))
    • ⇒ #C(0.0L0 -5.0165576136843360246L-20) （CLISP）
    • ⇒ #C(0.0d0 1.2246063538223773d-16) （中科大）
    • ⇒ #C(0.0d0 1.2246467991473532d-16) (SBCL)
  • 珀尔： use Math::Complex; Math::Complex->emake(1, pi) + 1
    • ⇒ 1.22464679914735e-16i
  • Python： from cmath import exp, pi; exp(complex(0, pi)) + 1
    • ⇒ 1.2246467991473532e-16j （CPython）
  • 红宝石： require 'complex'; Complex::polar(1, Math::PI) + 1
    • ⇒ Complex(0.0, 1.22464679914735e-16) （核磁共振成像）
    • ⇒ Complex(0.0, 1.2246467991473532e-16) （JRuby）
  • 回复： complex(argument = pi) + 1
    • ⇒ 0+1.224606353822377e-16i

这场纠纷有可能得到解决吗？

我的第一个想法是寻找一种符号语言，比如 枫. 。但我认为这不算浮点数。

事实上，如何表示 我 （或者 j 对于工程师来说）用传统的编程语言？

也许更好的例子是 sin(π) = 0？（或者我又错过重点了？）

我同意瑞安的观点，你需要转向另一个数字表示系统。该解决方案超出了浮点数学的范围，因为您需要将 pi 表示为无限长的小数，因此任何有限精度的方案都行不通（至少在不使用某种捏造因子来弥补丢失的情况下是行不通的）精确）。

你的问题对我来说似乎有点奇怪，因为你似乎暗示浮点数学是由语言实现的。这通常是不正确的，因为 FP 数学是使用硬件中的浮点处理器完成的。但无论是软件还是硬件，浮点总是会不准确。这就是浮动的工作原理。

如果您需要更高的精度，则需要使用不同的数字表示形式。就像您对不适合 int 或 long 的数字进行整数数学一样。有些语言有内置的库（我知道 java 有 BigInteger 和 BigDecimal），但是您必须显式使用这些库而不是本机类型，并且性能会（有时明显）比使用浮点数差。

@瑞恩·福克斯

事实上，如何用传统的编程语言表示 i（或工程师的 j）？

原生复杂数据类型远非未知。Fortran 在 60 年代中期就出现了，并且 OP 展示了在其后续版本中支持它们的各种其他语言。

复数可以作为库添加到其他语言中（通过运算符重载，它们甚至看起来就像代码中的本机类型）。

但除非你为这个问题提供一个特殊情况，否则“不一致”只是机器算术不精确的一种表达，不是吗？就像抱怨一样

float r = 2/3;
float s = 3*r;
float t = s - 2;

以 (t != 0) 结尾（至少如果您使用足够愚蠢的编译器）...

我和我最好的朋友喝了很长时间的咖啡聊天，谈论无理数和其他数字之间的差异。好吧，我们都同意这个不同的观点：

无理数在某种程度上是关系，就像函数一样，以什么方式？好吧，想想“如果你想要一个完美的圆，给我一个完美的圆周率”，但圆与其他数字不同（4条边、5、6......100, 200) 但是...你还有多少条边，看起来更像一个圆。如果您到目前为止都跟着我，那么这里连接所有这些想法的是 pi 公式：enter image description here

所以，pi 是一个函数，但是一个永无止境的函数！因为 Infinity 参数，但我喜欢认为你可以拥有 pi 的“实例”，如果你将 Infinity 参数更改为一个非常大的 Int，你将拥有一个非常大的 pi 实例。

和e一样，给我一个巨大的参数，我会给你一个巨大的e。

将所有想法放在一起：

由于我们有内存限制，语言和库为我们提供了巨大的无理数实例，在本例中为 pi 和 e，作为最终结果，您将需要很长的时间才能得到 0，就像@Chris Jester-Young 提供的示例一样

事实上，如何用传统的编程语言表示 i（或工程师的 j）？

在没有本机表示的语言中，通常使用 OOP 添加它来创建 Complex 代表的类 i 和 j, ，通过运算符重载来正确处理涉及其他操作的操作 Complex 数字和/或该语言本身的其他数字原语。

例如： 复杂的.java, C++ <复杂>

数值分析告诉我们，不能依赖大数之间微小差异的精确值。

这不仅会影响这里讨论的方程，还会给一切带来不稳定，从求解一组近奇异的联立方程，到找到多项式的零点，再到评估 log(~1) 或 exp(~0) （我什至看到了用于评估 log(x+1) 和 (exp(x)-1) 的特殊函数来解决这个问题）。

我鼓励您不要考虑将差异归零（您不能），而是以确保最小误差的方式进行相关计算。

抱歉，自从我在大学时被灌输这一点以来，已经有 43 年了，即使我还记得这些参考资料，我确信现在有更好的东西。我建议 这 作为起点。

如果这听起来有点居高临下，我深表歉意。我的“数值分析101”是化学课程的一部分，因为当时没有太多计算机科学。我对数值分析在现代计算机科学课程中的地位/重要性并没有真正的感觉。

这是我们当前浮点计算架构的限制。浮点运算只是像 e 或 pi 这样的数字极点的近似值（或超出位允许的精度的任何值）。我真的很喜欢这些数字，因为它们无法分类，而且似乎比素数（一个规范级数）具有更大的熵（？）。比率违背了数字表示，有时这样简单的事情可能会让人大吃一惊（我喜欢它）。

幸运的是，整个语言和库都可以通过使用符号概念（类似于 拉塞 V.卡尔森 ).

考虑一种以机器可以理解的形式描述 e 和 pi 等概念的库/语言。机器知道什么是完美的圆吗？也许不是，但我们可以创建一个对象 - 圆，它满足我们赋予它的所有已知特征（恒定半径，半径与周长的关系为 2*pi*r = C）。像 pi 这样的对象只能通过上述比率来描述。r & C 可以是数字对象，可以用您想要赋予它们的任何精度来描述。e 可以定义为“因为 e 是唯一的实数，使得函数 f(x) = ex 在点 x = 0 处的导数（切线斜率）的值恰好为 1” 维基百科.

有趣的问题。

许可以下： CC-BY-SA 和 归因
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