如何将纬度/经度映射到扭曲的地图？

Question

我有一堆纬度/经度对，映射到（地理扭曲的）地图上的已知 x/y 坐标。

然后我还有一对纬度/经度。我想尽可能地将其绘制在地图上。我该怎么做呢？

起初，我决定为三个最近的纬度/经度点创建一个线性方程组，并计算它们的变换，但这根本不起作用。由于这是一个线性系统，我也无法使用更多附近的点。

你不能假设 North 已经升起：您所拥有的只是现有的纬度/经度->x/y 映射。

编辑：这不是墨卡托投影或类似的投影。为了便于阅读，它被任意扭曲（想想地铁地图）。我只想使用最近的 5 到 10 个映射，以便地图其他部分的失真不会影响我尝试计算的映射。

此外，整个地图位于一个非常小的地理区域内，因此无需担心地球——地球平坦的假设就足够了。

Answer 1

关于这种失真有更具体的细节吗？例如，如果使用墨卡托投影将纬度和经度“扭曲”到二维地图上，则转换数学为 一应俱全.

如果地图确实任意扭曲，您可以尝试很多方法，但最简单的可能是计算 加权平均 从您现有的点映射。您的权重可以是从新点到每个现有点的 x/y 距离的平方倒数。

一些伪代码：

estimate-latitude-longitude (x, y)

    numerator-latitude := 0
    numerator-longitude := 0
    denominator := 0

    for each point,
        deltaX := x - point.x
        deltaY := y - point.y
        distSq := deltaX * deltaX + deltaY * deltaY
        weight := 1 / distSq

        numerator-latitude += weight * point.latitude
        numerator-longitude += weight * point.longitude
        denominator += weight

    return (numerator-latitude / denominator, numerator-longitude / denominator)

这段代码将给出一个相对简单的近似值。如果您能够更精确地了解投影扭曲地理坐标的方式，您可能会做得更好。

Answer 2

好吧。从理论的角度来看，鉴于失真是“任意的”，并且任何解决方案都需要你对这种任意的失真进行建模，那么你显然无法得到“答案”。然而，任何解决方案都将涉及强加（通常是隐式的）某种扭曲模型，该模型可能反映也可能不反映实际情况。

由于您似乎对假定失真映射的某种局部连续性的模型最感兴趣，因此最明显的选择是您已经尝试过的模型：最近点之间的线性插值。除此之外，将需要更复杂的数学和数值分析知识。

然而，你假设你不能将其扩展到更多点，这是错误的。您可以使用最小二乘误差方法。找到使其他点的误差最小化的线性答案。这可能是最直接的扩展。换句话说，取 5 个最近的点，并尝试得出一个线性近似值，以最小化这些点的误差。并使用它。接下来我会尝试这个。

如果这不起作用，那么 N 个点区域内的线性假设就被打破了。那时，您需要升级到二次或三次模型。到那时，数学将会变得忙碌。

Answer 3

问题是球体可以通过多种方式扭曲，并且已知赤道上的所有这些点，可以说，不会帮助您绘制更远的点。

您需要更好的“接近”点，然后您可以假设这三个点与第四个点在一个平面上并进行插值 - 知道经度的距离是一个函数，而不是一个常数。

Answer 4

嗯。也许我在这里遗漏了一些关于这个问题的东西，但是如果你有长/纬度信息，你也有北的方向？

看来您需要将测地坐标映射到投影坐标系。例如 osgb 到 wgs84。

所涉及的数学并不简单，但代码只有几行。如果我有更多时间，我会发布更多内容，但我需要洗澡，所以我会很无聊并链接到 维基百科 条目相当不错。

笔记：阵雨后编辑。