表示负数的最小位数

Question

表示所需的最少位数 $(+32)_{基数10}$ 和 $(-32)_{基数10}$ 签署两人的赞美形式？

我的尝试：

32 = 0100000（第一个零 - 符号位为正）

所以为了表示 +32 我们需要 7 位

-32 = 1100000（第 1 位 1 - 符号位为负）

所以要表示 -32 我们需要 7 位

但答案给出为 6 位来存储 -32 和 7 位来存储 +32（我理解的积极情况，我认为消极情况应该是 7 位）。他的理由是——一个1位足以代表负数。我很困惑。请在此澄清

我还有以下问题：-

我们是否可以说表示负数所需的位数严格小于（或小于等于）表示相应正数所需的位数？

我们如何概括表示给定正数和负数（例如 +N 和 -N）所需的最小位数（以有符号幅度表示、有符号 1 的补码表示法和有符号 2 的补码表示法）。

Answer 1

6 位补码二进制数的表示形式为\开始 32_{10} &= 10\,0000_2\\ -32_{10} &= \overline{10\,0000}_2 1_2\\ &= 01\,1111_2 1_2\\ &= 10\,0000_2 \结束{align}。这将为两个数字提供相同的表示。这意味着您不能使用 6 位数字来使用二进制补码来表示这两个值。

然而，对于 7 位二进制文​​件，它可以工作：\开始 32_{10} &= 010\,0000_2\\ -32_{10} &= OVERLINE{010\,0000}_2 1_2\ &= 101\,1111_2 1_2\\ &= 110\,0000_2 \结束{align}。正如您所看到的，最高有效位代表数字的符号。

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从另一个角度看你的问题：您可以存储的最大正数/最小负数是多少 $n$-位二进制补码？那么答案就是 $2^{(n-1)}-1$ 以获得最大的积极和 $-2^{(n-1)}$ 为最小的负数。

这意味着 6 位二进制可以保存值 $-32，\点，31$ 和一个7位二进制值 $-64，点，63$. 。号码 $-32$ 然后适合 6 位二进制文​​件的范围，而 $+32$ 没有。对于后者，你还需要一点。

Answer 2

There are 65 values x with -32 <= x <= +32. You cannot represent 65 values in 6 bits. Either you misread the question, or the answer 6 is wrong.