VC维度的VC维数

Question

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一般思想如下：

考虑实例域的二进制类别问题是 $ x= mathbb r $ 。

对于每个 $ n \ in \ mathbb n $ let $ h_n $ 是多项式的类学位的分类 $ n $ ;即， $ h_n $ 是表单 $ h（x）=operatorname {符号}（ p（x））$ ，其中 $ p \ colon \ mathbb r \ to \ mathbb r $ 是一个多项式 $ N $ 。

证明 $ h_n $ 的VC维度是 $ n + 1 $ 。

Answer 1

这个想法是，度数 $ n $ 具有大多数 $ n $ 根的多项式，因此，可以更改大多数 $ n $ 时间的迹象。因此，没有程度 $ n $ 可以形成交替模式+ - + -...或 - + - + ...长度 $ n + 2 $ 。这表明VC维度最多 $ N + 1 $ 。

另一方面，对于任何组 $ n + 1 $ 对 $（x_1，y_1），\ LDOTS，（x_ {n + 1}，y_ {n + 1}）$ ，有一个多项式 $ n $ ，它会插入它们，由拉格朗日插值公式给出。使用 $ y_i=pm 1 $ ，您可以轻松地显示任何集 $ n +1 $ 点是破碎的。因此，VC维度正好<跨度类=“Math-Container”> $ n + 1 $ 。