最小的$ s $-component在mincut
https://cs.stackexchange.com/questions/117932
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28-09-2020 - |
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假设有一个定向图 $ g=（v，e）$ ，带源 $ s $ SPAN $ T $ ，我计算它的最大流量。然后我知道我可以找到一个min-cut $（a，b）$ ，通过让 $ a $ 是从源中可访问的顶点 $ s $ 。
我的问题是这个set $ a $ 最小的 $ s $ -component？我认为是这样。 要精确，是否存在一个顶点 $ a ^ * $ ，使得 $（a ^ *，v \ setminus a ^ *）$ 是一个min-cut，以及所有其他可能的顶点子集 $ a $ 这样 $（a，v \ setminus a）$ 是一个min-cut，我们有 $ size（a ^ *）\ leq size（a）$ 。
此外，对于任何其他MIN-CUT $（C，D）$ ，我们是否有 $ a \ subset C $ ？我也认为这是这种情况。但我无法证明它。任何直觉/提示都非常感谢！
编辑
$ s $ -component： min-cut是 $ g $ 分为两个不相交的集合 $（a，b）$ < / span>，其中 $ a $ 包含源 $ s $ 和 $ B $ 包含inrin $ t $ 。 $ s $ -component w.r.t.然后是min-cut，然后设置 $ a $ 。
通过“最小” $ s $ -component我的意思是 $ s $ -component与最小的基数。我想知道是否有几个不同的 minimal $ s $ -component w.r.t.设置包含，即 $ s $ -components，具有相同的基数，但不等于集。等效，想知道是否有最小 $ s $ -component;一组顶点，inall $ s $ -components。
解决方案
我相信答案是肯定的：以这种方式从最大流动构造的任何min切割也将具有最低可能的基数，其中所有可能的敏感。
可以有多个敏感，全部具有相同的成本。它们形成晶格结构：两个敏感的交点是另一个敏切，两个敏感的联盟是另一个敏感的。您可以通过占据所有敏感的交叉来识别这个晶格中的“最小”元素;这将是另一个敏感的，它将具有所有最小切割的最小基数。
在我理解的情况下，可以证明从最大流量获得的最小切割始终是这种“最小”最小的切割。或者，如果您认为源
对于这些结果和其他相关材料的引用，请参阅以下问题（注意：您可能需要仔细检查某些索赔，因为我没有亲自验证它们）：
https://stackoverflow.com/a/8101250/781723
其他提示
回答你的第一个问题：不一定。任何现成的最大流量或最小剪切算法将产生任意敏切分区，而不是最小基数。但是你可以增强你的图表，这样最大流量输出就是你想要的：
let $ a，v \ setminus a $ 和 $ b，v \ setminus b $ 敏切分区： $$ \ delta（a，v \ setminus a）=delta（b，v \ setminus b）=min_ {x \ subseteq v，s \ in x} \ delta（ x，v \ setminus x）$$ 现在，使用权重 $ \ varepsilon> 0 $ 从顶点 $ t $ 到所有其他顶点。对应于 $ a $ 和 $ b $ 的新剪切有更新的权重： $$ \ delta（a，v \ setminus a）+ | a | \ cdot \ varepsilon，\\ \ delta（b，v \ setminus b）+ | b | \ cdot \ varepsilon $$ 分别。由于第一个项都是平等的，所以第二项术语 $ \ varepsilon | a | $ 和 $ \ varepsilon | b | $ 将确定订单。因此，新图中的最小切割是原始图中的最小基数，最小剪切分区。唯一的警告是<跨越类=“数学容器”> $ \ varepsilon $ 必须选择足够小，以确保它在新图中的敏切是一个最小的图形。如果权重是整数，则任何少于 $ 1 / | v | $ 就足够了。
（ $ \ star）$ ： $ \ delta（x，v \ setminus x）$ 表示 $ x $ 和 $ v \ setminus x $ 之间的权重的权重的总和。
