小组特殊情况

Question

我在我的复杂性理论课程中遇到了以下问题：

给定一组数字 $ a：={a_1，\ dots，a_n \} \子集_ {\ mathrm {有限}} \ mathbb {n} $ 一个数字 $ b $ 也在 $ \ mathbb {n} $ ，使得以下条件适用： $ a_i $ 划分 $ a_ {i + 1} $ 所有 $ i 和 $ a_i 。证明了子集合的特殊情况是在p中解除删除的。

由于给定的条件， $ b $ 必须是第一个 $ a \ neq 1 $的倍数。拍摄 $ a_1 \ neq 1：b= a_1 \ cdot x $ 。发现这个x让我回到子集 - 和问题，尽管它肯定不在p。

任何帮助将是值得注意的。

Answer 1

简而言之，贪婪算法有效，在每个步骤中，您在 $ a $ 中找到最大的数字，并从 $ B $ 。如果 $ b $ 变为零，则可以获得解决方案。如果达到<跨度类=“math-container”> $ a $ 的所有数字的点，则大于 $ b $ 输出号。< / p>

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在下面的情况下，列出了算法的正式描述和正确性证明。

这里是算法的正式描述。让 $ a_0= a，b_0= b $ 和 $ b_i $ 是 $ B $ $ i $ -th迭代。让 $ a_i $ 是 $ a $ $ i $ -th迭代。然后算法如下。在每个步骤中 $ i= 1，\ dots $ 查找最大的数字 $ a_j $ $ a_ {i-1} $ 不大于 $ b_ {i-1} $ 。如果未存在输出否。否则，set $ b_ {i}= b_ {i-1} - a_j $ 和 $ a_i= a_ {i- 1} \ setminus \ {a_j \} $ 。如果 $ b $ 变得等于零，则输出是，else erate。

2.如权利要求1所述。前一个算法输出给定的子集总和的给定实例的正确答案。

在我们证明我们证明辅助索赔之前。

索取2。 let $ a_1，\ dots a_n $ 是 $中的数字$ 按升序。然后 $ \ sum \ limits_ {i= 1} ^ {k-1} a_i 所有 $ k \在[n] $ 。

证明。（索契> incizoilion的证明 $ k $ 。对于n= 1，总和为空。现在我们证明了 $ k $ 。 $$ \ sum \ limits_ {i= 1} ^ {k-2} a_i + a_ {k-1} <2a_ {i-1} \ leq a_i，$$ 如果由于<跨度类=“数学容器”> $ a_ {k-1} $ 划分并且小于 $ a {k} $ 。

证明。（8.如权利要求1）如果算法输出是，那么它显然是一个是 - 实例，因为它只从给定集中选择数字并从 $ B $ 。

现在我们证明，如果我们的算法输出否，则给定的实例是NO-DIPLET。为此，我们证明，如果在步骤 $ i $ 我们选择一个元素 $ a_j $ ，那么给定实例的解决方案必须包含此元素。我们通过encuction通过 $ i $ 来证明这一点。注意，任何 $ a_j'，j'> j $ 严格大于 $ b_i $ ，因此可以假设通过归纳假设，所有先前选择的 $ a $ 如果存在一个解决方案的一部分。现在使用索入量1， $ \ sum \ limits_ {i= 1} ^ {j-1} a_j $ < $ a_j $ 并且由于我们只删除元素， $ a_i $ 没有其他元素小于 $ a_j $ 因此，如果我们不选择 $ a_j $ 选择所有较小的元素都不只需获得等于 $ b $ 。因此，我们必须选择 $ a_j $ 。

Answer 2

考虑以下几个特例您的问题： $ a_i= c ^ {i-1} $ 对于某些$ c \ ge 2 $ 。例如，如果 $ c= 10 $ ，则我们有 $ a_1= 1，a_2= 10，a_2= 100，a_3= 1000，\ dots，a ^ n= c ^ {n-1} $ 。

在这种情况下，如果且仅当 $ 0 \ le b 和base $ c $ $ b $ 不包含0和1.特别的数字，即使是一些 $ B $ 不是 $ c $ 的倍数，与您的二对大段落相矛盾。

看看这是否有助于您考虑问题。