是否有一种算法可以在拓扑遍历期间最小化工作集？

Question

我有一个任务的依赖关系图，它形成了DAG。我正在寻找一种计算最佳拓扑遍历以最小化“工作集”的算法。具体地，我将当前工作集定义为已被访问的一组节点，并且具有至少一个未传出的传出边缘。

更有用的是计算最佳拓扑遍历的算法，这最小化了工作集的固定尺寸高速缓存的缓存驱逐的数量。

是否有一种计算这种拓扑遍历的算法？我可以从拓扑排序中贪婪地贪婪，但怀疑是次优。

Answer 1

决定如果使用尺寸 $ \ le k $ 的拓扑排序，则存在NP-Creating，即使在二分图中。

我们可以减少 pathwidth 计算到这个问题。让 $ g $ 是一个无向图形，我们想要计算的路径。现在创建一个定向图 $ h $ ，带有顶点 $ v'$ 对于每个顶点 $ V $ $ g $ 。对于每个边缘 $（u，v）$ $ g $ ，创建顶点 $ e_ {（u，v）} $ 和定向边缘 $（v'，e _ {（u，v）}'），（ U'，E _ {（u，v）}'）$ 。

现在考虑 $ h $ 的拓扑排序。将相应的工作集序列定义为 $ x_1，\ ldots，x_p $ 。我们证明 $ x_1，\ ldots，x_p $ 是 $ g $ 的路径分解。工作组仅包括 $ v'$ 类型的顶点，因为其他顶点没有传出边。根据定义的工作集满足了交叉点属性 $ i \ le j \ le k \ lightarrow x_i \ cap x_k \ subseteq x_j $ 。如果有一个边缘 $（u，v）$ 在 $ g $ 中，则有边缘 $ h $ 从 $ v'$ 和 $ u '$ 到 $ e _ {（u，v）}'$ 所以必须有一个工作set $ x_i $ $ v'，u'\ in x_i $ 。因此，每个边缘是路径分解的一些袋子的子集，因此 $ x_1，\ ldots，x_p $ 是 $ g $ 。

还可以显示 $ g $ 对应于 $ h $ （考虑底层间隔图的消除排序）。 $ \ square $

对于积极的结果，我建议在文学中观察某些路径的类别。快速搜索我发现了指向路径和DAG宽度的概念，但似乎它们在这里不相关，因为它们是悲层的微不足道。